تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

شدّ خيط مرن

تمرين 12 · الدرس 4 — المبدأ الأول للديناميكا الحرارية

الشغل المعمم
خيط مرن
شد
المبدأ الأول

نص المسألة

يُشدّ خيط طوله في حالة الراحة $L_{0}$ ببطء، ومن دون هسترة، من $L_{A}$ إلى $L_{B}$ ، حيث $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ . في المجال المدروس، يخضع توتر توازنه للقانون

F = K (L - L_{0}),

حيث $K > 0$ صلابة ثابتة لا تعتمد على درجة الحرارة. توازن قوة الشد الخارجية توتر الخيط في كل مرحلة. نعتمد النموذج الآتي للطاقة الداخلية:

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

حيث $C$ سعة حرارية كلية ثابتة، و $T_{⋆}$ و $U_{⋆}$ قيمتان مرجعيتان ثابتتان. تُهمل تغيرات طاقة الحركة وطاقة الوضع الثقالية.

ارسم الخيط ونقطة تثبيته وطرفه المتحرك وقوة الشد الخارجية. اكتب الشغل العنصري المستقبَل من أجل تغير $d L$ ، ثم احسب $W_{A \to B}$ .
الشدّ متساوي درجة الحرارة. احسب $Δ U$ والحرارة $Q_{A \to B}$ المستقبلة في هذا النموذج. هل يفرض التحول متساوي درجة الحرارة عمومًا $Δ U = 0$ ؟
نعيد الخيط من $L_{B}$ إلى $L_{A}$ وفق قانون الشد نفسه. احسب الشغل المستقبَل في هذه العودة وفي الذهاب والإياب معًا. لماذا لا تعني هذه النتيجة أن كل شغل دالة حالة؟

تلميح

استخدم

δ W = F_{ext} d L

وكامِل القوة المتغيرة. قارن بعد ذلك بفرق الطاقة الداخلية الذي يعطيه النموذج، مستخدمًا

Δ U = Q + W

الحل المفصل

الحل

السؤال 1. في الرسم، الطرف الأيسر مثبت، والطرف الأيمن يخضع لقوة شد متجهة نحو اليمين؛ وانتقاله

d L

. الشغل الذي يستقبله الخيط موجب عندما يستطيل:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

القوة ليست ثابتة، لذا يجب أن نحسب

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

وحدة الصلابة $N m^{- 1}$ ، فيُعبَّر عن $K (L - L_{0})^{2}$ بوحدة $N m$ ، أي بالجول.

السؤال 2. بما أن

T_{B} = T_{A}

، لا يتغير الحد الحراري. وتختزل الثوابت المرجعية أيضًا، ومن ثم

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

يعطي المبدأ الأول عندئذ $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ . في هذا النموذج المثالي، يُختزن الشغل المستقبَل في صورة طاقة مرونية. تبقى درجة الحرارة ثابتة، لكن الطاقة الداخلية تزداد: فثبات درجة الحرارة لا يفرض إذن $Δ U = 0$ . والنتيجة $Q = 0$ تتوقف هنا على النموذج المعتمد ولا تعمَّم على جميع المواد.

السؤال 3. يؤدي تبديل حدّي التكامل إلى تغيير إشارته:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

فالشغل المستقبَل في الذهاب والإياب معدوم، إذ يعيد الخيط الشغل الذي اختزنه. هنا يجعل القانون المفروض الشغلَ مساويًا لتغير الطاقة المرونية، وهي دالة في $L$ . هذه خاصية لهذا النموذج الخالي من الهسترة ولهذه العائلة من التحولات، وليست خاصية عامة لانتقالات الشغل.