الشغل اللازم لتوسيع غشاء صابون

يمتد غشاء صابون مستوٍ على إطار مستطيل يمكن لقضيب صغير منه طوله $\ell$ أن ينزلق دون احتكاك. تزداد المسافة $x$ بين هذا القضيب والضلع المقابل من الإطار من $x_A$ إلى $x_B$. للغشاء سطحان بينيان هواء-سائل، لكل منهما توتر سطحي $\gamma$ يُفترض ثابتًا. نهمل تأثيرات الحواف والثقل وشغل قوى الضغط؛ حجم السائل ثابت ولا يُتبادل أي سائل. الانتقال بطيء بما يكفي لبقاء التوازن الميكانيكي. عند إنشاء سطح بيني، يُكتب الشغل المستقبَل $\delta W=\gamma \mathrm{d}A$، حيث $A$ المساحة الكلية للسطوح البينية.

1. ارسم الإطار والقضيب، وبيّن $x$ و$\ell$ واتجاه قوة الشد الخارجية. عبّر عن $A(x)$ ثم عن $\mathrm{d}A$.
2. حدّد القوة الخارجية اللازمة واحسب الشغل المستقبَل عندما ينتقل $x$ من $x_A$ إلى $x_B$.
3. احسب هذه القوة وهذا الشغل من أجل $\gamma =30\mathrm{mN}{\mathrm{m}}^{-1}$ و$\ell =5,0\mathrm{cm}$ و$x_B-x_A=2,0\mathrm{cm}$. ما الخطأ الذي ينتج عن نسيان أحد الوجهين؟
4. تبقى درجة حرارة الغشاء ثابتة بفضل خزان حراري. هل تكفي معرفة $\gamma$ وتغير المساحة وحدهما لتحديد $\Delta U$ و$Q$؟