كرة مشحونة ومسألة الامتدادية

شحنة كلية $\mathcal{Q}>0$ موزعة بانتظام في حجم كرة نصف قطرها $R$، في الفراغ. تحافظ قيود على هذا التوزيع؛ ولا نحسب هنا إلا طاقته الكهروستاتيكية $U_{\mathrm{el}}$. لا يتعلق الأمر بكرة موصلة، تستقر شحناتها عند التوازن على السطح.

نجمّع التوزيع بجلب قشور مشحونة من اللانهاية. من أجل شحنة مجمَّعة $\mathcal{Q}(r)$ في كرة نصف قطرها $r$، يساوي الكمون على السطح $\Phi (r)=k_e\mathcal{Q}(r)/r$، حيث $k_e=1/(4\pi {\epsilon }_0)$. والطاقة معدومة عندما تكون عناصر الشحنة متباعدة إلى ما لا نهاية.

1. ارسم مرحلة من التجميع. عبّر عن $\mathcal{Q}(r)$ و$\mathrm{d}\mathcal{Q}$ بدلالة $\mathcal{Q},R,r$ و $\mathrm{d}r$، ثم احسب $U_{\mathrm{el}}$.
2. في نموذج متصل من $N$ مكوِّنًا لها الشحنة نفسها $q_0$، نضع $\mathcal{Q}=N{q}_0$. عند ثبات كثافة الجسيمات، اكتب $R=r_0{N}^{1/3}$ وحدّد كيف تعتمد الطاقة على $N$. قارن إشارتها ودرجة تجانسها بإشارة الثقالة ودرجة تجانسها.
3. عند ثبات الشحنة الكلية، احسب تغير الطاقة أثناء تمدد من $R_A$ إلى $R_B>R_A$. ما إشارة الشغل الخارجي المستقبَل إذا كان هذا التمدد شبه ساكن ودون تبديد؟ لا تمثل عبارة هذا الشغل إلا المساهمة الكهربائية.
4. من أجل شحنات مختلفة الإشارة، تُكتب طاقة التآثر المجهرية $$U_{\mathrm{el}}=k_e\sum _{i<j}\frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}.$$

   لماذا لا يثبت القانون الذي حصلنا عليه لكرة تحمل شحنة من إشارة واحدة أن كل مادة عادية غير امتدادية؟ هل تكفي شحنة كلية معدومة لإلغاء هذا المجموع؟