تجميع كرة ثقالية منتظمة

كرة نصف قطرها $R$ تحوي كتلة $M$ موزعة بانتظام، كتلتها الحجمية ${\rho }_m$. نريد حساب طاقة وضعها الثقالية $U_{\mathrm{grav}}$، مع اختيار المرجع صفرًا عندما تكون عناصرها الكتلية متباعدة إلى ما لا نهاية.

نتصور تجميع الكرة بطبقات متحدة المركز، مع الحفاظ على الكتلة الحجمية نفسها. في المرحلة التي يبلغ فيها نصف القطر $r$، تكون الكتلة المجمَّعة $M(r)$، ونجلب من اللانهاية قشرة كتلتها $\mathrm{d}M$. نقبل أن الكمون الذي تحدثه الكتلة الداخلية على سطح القشرة يساوي $-GM(r)/r$. يقتصر الحساب على الطاقة الثقالية؛ ولا يُفترض أي توازن ميكانيكي للكرة.

1. ارسم الكرة المجمَّعة والقشرة المضافة بين $r$ و$r+\mathrm{d}r$. عبّر عن ${\rho }_m$ و$M(r)$ و$\mathrm{d}M$ بدلالة $M,R,r$ و$\mathrm{d}r$.
2. عبّر عن طاقة تآثر القشرة مع الكرة الداخلية، ثم كامِل للحصول على $U_{\mathrm{grav}}$. هل يجب قسمة النتيجة على اثنين؟
3. تحوي الكرة $N$ مكوِّنًا كتلة كل منها $m$، مع $M=Nm$. عند ثبات الكتلة الحجمية ${\rho }_m$، عبّر عن $R$ بدلالة $N$ ثم حدّد كيف يعتمد $U_{\mathrm{grav}}$ و $U_{\mathrm{grav}}/N$ على $N$.
4. قارن طاقة كرة من $2N$ مكوِّنًا بمجموع طاقتي كرتين من $N$ مكوِّنًا لكل منهما، متباعدتين إلى ما لا نهاية، وكلها بالكتلة الحجمية نفسها. علّق على إشارة الفرق وعلى الامتدادية.