تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

نتح وتبخر شجرة كبيرة: مكيّف طبيعي؟

تمرين 2 · الدرس 2 — تاريخ الديناميكا الحرارية والمسعرية

  • رتبة المقدار
  • النتح والتبخر
  • شجرة
  • الحرارة الكامنة
  • قدرة التبريد
  • مكيّف
  • COP

نص المسألة

في يوم حار وجاف، قد تفقد شجرة كبيرة تتلقى ماءً كافياً نحو 500 L=5,0×10−1 m3500\,\text{L}=5{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3 من الماء بالنتح والتبخر. ولأن النتح يحدث أساساً في الضوء، نفترض أنه يستمر اثنتي عشرة ساعة. يغطي تاج الشجرة مساحة أرضية Atree=50 m2A_{\text{tree}}=50\,\text{m}^2. كثافة الماء وحرارة تبخره الكامنة عند الضغط الجوي هما

ρwater=1,0×103 kg ⁣⋅ ⁣m−3,Lv=2,26×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\rho_{\text{water}}=1{,}0\times10^3\,\text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{-3}, \qquad L_v=2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.
  1. احسب كتلة الماء التي تفقدها الشجرة بالنتح والتبخر خلال اليوم والطاقة اللازمة لتبخيرها.
  2. فسّر لماذا تنتج هذه العملية تأثيراً مبرداً.
  3. احسب قدرة التبريد المتوسطة للشجرة لكل متر مربع خلال ساعات النتح النشط الاثنتي عشرة.
  4. للمقارنة، ادرس مكيّفاً بقدرة كهربائية Pel=7,0×102 WP_{\mathrm{el}}=7{,}0\times10^2\,\text{W} ومعامل أداء تبريد COP=3,0\mathrm{COP}=3{,}0، يبرد غرفة مساحتها Aroom=20 m2A_{\text{room}}=20\,\text{m}^2. بالتعريف COP=Pcool/Pel\mathrm{COP}=P_{\text{cool}}/P_{\mathrm{el}}. احسب قدرة التبريد والقدرة لكل متر مربع وقارنهما بالشجرة.
  5. لماذا لا يمكن استنتاج أن الشجرة والمكيّف يعطيان الإحساس نفسه بالتبريد، حتى إذا كانت قدرتاهما لكل وحدة مساحة من رتبة المقدار نفسها؟
  6. هل يمكن تبريد المنزل بكثير من النباتات الداخلية؟ (ثقافة عامة: يعتمد الجواب على عمليات حيوية.)

تلميح
استخدم m=ρVm=\rho V وQevap=mLvQ_{\mathrm{evap}}=mL_v وP=Q/τP=Q/\tau. للمكيّف استخدم Pcool=COP PelP_{\text{cool}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{el}}.

الحل المفصل

الحل
1.

m=ρwaterV=1,0×103×5,0×10−1=5,0×102 kg,Qevap=mLv=5,0×102×2,26×106=1,13×109 J.m=\rho_{\text{water}}V=1{,}0\times10^3\times5{,}0\times10^{-1} =5{,}0\times10^2\,\text{kg}, Q_{\mathrm{evap}}=mL_v=5{,}0\times10^2\times2{,}26\times10^6 =1{,}13\times10^9\,\text{J}.

أي إن رتبة المقدار غيغاجول واحد.

2. التبخر تغير طور ماص للحرارة، ويتطلب الطاقة QevapQ_{\mathrm{evap}}. تأتي هذه الطاقة أساساً من الإشعاع الشمسي الذي تمتصه الأوراق: فبدلاً من تسخين الورقة (حرارة محسوسة)، تتحول الطاقة الشمسية الممتصة إلى حرارة كامنة للتبخر. تبقى الورقة بذلك أكثر برودة مما لو تحولت كل الطاقة الممتصة إلى ارتفاع في درجة حرارتها، ومن هنا ينشأ التأثير المبرد للنتح والتبخر. 3. اثنتا عشرة ساعة تساوي τ=12×3600=4,32×104 s\tau=12\times3600=4{,}32\times10^4\,\text{s}. لذلك

Ptree=Qevapτ=1,13×1094,32×104≈2,62×104 W,P_{\text{tree}}=\frac{Q_{\mathrm{evap}}}{\tau} =\frac{1{,}13\times10^9}{4{,}32\times10^4}\approx2{,}62\times10^4\,\text{W},

ولكل وحدة مساحة

PtreeAtree=2,62×10450≈5,2×102 W ⁣⋅ ⁣m−2.\frac{P_{\text{tree}}}{A_{\text{tree}}} =\frac{2{,}62\times10^4}{50}\approx5{,}2\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

تحقّق من المعقولية: بما أن هذه الطاقة تأتي أساساً من الإشعاع الشمسي الممتص (السؤال 2)، فمن المطمئن أن نلاحظ أن 5,2×102 W ⁣⋅ ⁣m−25{,}2\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2} من رتبة المقدار نفسها للإشعاع الشمسي الواصل إلى الأرض في يوم صافٍ، والذي يبلغ ذروته نحو 103 W ⁣⋅ ⁣m−210^3\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2} ويقارب بضع مئات من W ⁣⋅ ⁣m−2\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2} في المتوسط اليومي. يؤكد هذا أن شجرة مزودة جيداً بالماء يمكنها، في يوم حار ومشمس، أن تصرّف عبر النتح جزءاً كبيراً من الطاقة الشمسية التي تتلقاها.

4.

Pcool=COP Pel=3,0×7,0×102=2,1×103 W,PcoolAroom=2,1×10320≈1,1×102 W ⁣⋅ ⁣m−2.P_{\text{cool}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{el}} =3{,}0\times7{,}0\times10^2=2{,}1\times10^3\,\text{W}, \frac{P_{\text{cool}}}{A_{\text{room}}} =\frac{2{,}1\times10^3}{20}\approx1{,}1\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

في هذا النموذج، تبلغ قدرة النتح والتبخر للشجرة لكل مساحة نحو خمسة أضعاف قدرة مكيّف عادي.

5. تتعلق المقارنة بتدفقات الطاقة وحدها. يبرد المكيّف حيزاً مغلقاً ومضبوطاً، بينما ينتشر بخار الشجرة في الجو وتجلب الرياح هواءً دافئاً. يعتمد الإحساس على التهوية والرطوبة ودرجة الحرارة والمسافة من الشجرة. ويتغير النتح مع الشمس والرياح والرطوبة والنوع والماء المتاح، وقد ينخفض كثيراً في الجفاف. كما توفر الشجرة الظل فتقلل مباشرة الإشعاع الشمسي الواصل إلى الأرض والناس. لذا تقارن الحسابات رتب المقدار ولا تثبت تكافؤ الراحة الحرارية. 6. عملياً يكون تبريد النباتات الداخلية ضعيفاً جداً. لدى معظم النباتات يشجع الضوء فتح الثغور، وهي مسام صغيرة في الأوراق يخرج منها بخار الماء. تكون إضاءة الداخل ضعيفة عادة، فتفتح الثغور أقل وينخفض النتح. وفي غرفة قليلة التهوية تؤدي زيادة الرطوبة أيضاً إلى إبطاء التبخر تدريجياً. قد تعطي نباتات كثيرة تبريداً تبخرياً محلياً طفيفاً، لكنها لا تعوض المكيّف. ولإخراج الطاقة باستمرار من المنزل يجب طرد الهواء الرطب إلى الخارج. قد يحفز الضوء الاصطناعي القوي النتح، لكن طاقته الكهربائية تنتهي تقريباً كلها حرارة في الغرفة. نباتات CAM المتكيفة مع الجفاف، ومنها الصبار، استثناء إذ تفتح ثغورها أساساً ليلاً.