تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

مزج كتلتين من الماء

تمرين 3 · الدرس 2 — تاريخ الديناميكا الحرارية والمسعرية

  • المسعرية
  • المزج
  • السعة الحرارية
  • الحرارة النوعية
  • جوزيف بلاك
  • درجة حرارة التوازن

نص المسألة

يُصب m1=0,200 kgm_1=0{,}200\,\text{kg} من الماء عند T1=80 ∘CT_1=80\,^\circ\text{C} في وعاء يحوي m2=0,300 kgm_2=0{,}300\,\text{kg} من الماء عند T2=15 ∘CT_2=15\,^\circ\text{C}. الوعاء مسعر مثالي: نهمل فقد الحرارة إلى الخارج وسعته الحرارية. نذكر أن Q=mcΔTQ=mc\Delta T، حيث c=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1} هي الحرارة النوعية للماء السائل.

  1. بيّن أن الحرارة التي يفقدها الماء الساخن يستقبلها الماء البارد كاملة، واكتب معادلة الحفظ التي تضم m1m_1 وm2m_2 وcc وT1T_1 وT2T_2 ودرجة التوازن TeqT_{eq}.
  2. استنتج عبارة TeqT_{eq} واحسب قيمتها.
  3. احسب الحرارة QQ التي يفقدها الماء الساخن أثناء المزج.
  4. هل يتيح مزج مادتين من النوع نفسه تحديد cc؟ علّل.

تلميح
المسعر معزول وصلب، لذلك تحفظ الطاقة الداخلية الكلية U1+U2U_1+U_2: ما يفقده أحد الجزأين يستقبله الآخر بإشارة معاكسة.

الحل المفصل

الحل
1. بما أن المسعر معزول (جدرانه أديباتية وصلبة بالنسبة إلى الخارج)، فإن الطاقة الداخلية الكلية لنظام الماء الساخن والماء البارد محفوظة: ما يفقده أحدهما يكتسبه الآخر تماماً. لذلك Q1,المستقبلة=−Q2,المستقبلةQ_{1,\textrm{المستقبلة}}=-Q_{2,\textrm{المستقبلة}}، أو Q1,المستقبلة+Q2,المستقبلة=0Q_{1,\textrm{المستقبلة}}+Q_{2,\textrm{المستقبلة}}=0. وباستخدام الاصطلاح Q=mcΔTQ=mc\Delta T لكل كتلة ماء بين حالتها الابتدائية وحالة التوازن، نكتب

m1c(Teq−T1)+m2c(Teq−T2)=0.m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. يختزل العامل cc:

Teq=m1T1+m2T2m1+m2=0,200×80+0,300×150,200+0,300=41 ∘C.T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300}=41\,^\circ\text{C}.

3.

Q1,المحررة=−Q1,المستقبلة=m1c(T1−Teq)=0,200×4,18×103×(80−41)≈3,26×104 J.Q_{1,\textrm{المحررة}}=-Q_{1,\textrm{المستقبلة}}=m_1c(T_1-T_{eq})=0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

ويستقبل الماء البارد الكمية نفسها:

Q2,المستقبلة=m2c(Teq−T2)=0,300×4,18×103×26≈3,26×104 J.Q_{2,\textrm{المستقبلة}}=m_2c(T_{eq}-T_2)=0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. لا. للمادة نفسها يضرب cc طرفي موازنة الطاقة فيختزل. لا تعتمد درجة التوازن على cc، بل هي متوسط درجات البداية موزوناً بالكتل. يتطلب قياس الحرارة النوعية بطريقة المزج مادة ذات سعة معلومة، كما في التمرين التالي.