تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

من الجليد البارد إلى الماء المغلي: رتب المقدار

تمرين 1 · الدرس 2 — تاريخ الديناميكا الحرارية والمسعرية

  • المسعرية
  • تغير الحالة
  • الانصهار
  • التبخر
  • الحرارة الكامنة
  • رتبة المقدار

نص المسألة

المعطيات العددية (عند الضغط الجوي):

cice=2,1×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lf=3,34×105 J ⁣⋅ ⁣kg−1,cwater=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lv=2,26×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\begin{aligned} c_{\text{ice}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{water}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

عند الضغط الجوي، يُسخَّن تدريجياً كيلوغرام واحد من الجليد، ودرجة حرارته الابتدائية −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C}.

  1. احسب الطاقة اللازمة لتسخين الجليد من −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C} إلى 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  2. احسب الطاقة اللازمة لصهر الجليد كلياً عند 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  3. احسب الطاقة اللازمة لتسخين الماء السائل من 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} إلى 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  4. احسب الطاقة الإضافية اللازمة لتبخير الماء كلياً عند 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  5. أي مرحلة تتطلب أكبر طاقة؟ قارن طاقة تسخين كيلوغرام واحد من الماء من 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} إلى 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} بطاقة الوضع لكتلة mm تسقط من ارتفاع عشرة أمتار. ما الكتلة التي ينبغي إسقاطها لتحرير الطاقة نفسها؟
  6. ادرس الآن العملية العكسية. تتكاثف كتلة mvm_v من بخار الماء على الزجاج الأمامي، من دون أن يبرد الماء السائل الناتج بعد ذلك. اكتب الحرارة QrelQ_{\text{rel}} المتحررة أثناء التكاثف واحسبها من أجل mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}. عند درجة حرارة الزجاج خذ Lv=2,45×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.

تلميح
لتسخين طور من دون تغير الحالة استخدم Q=mcΔTQ=mc\Delta T، ولتغير الحالة عند درجة حرارة ثابتة استخدم Q=mLQ=mL. طاقة الوضع الثقالية لكتلة mm على ارتفاع hh هي Ep=mghE_p=mgh؛ خذ g=9,81 m ⁣⋅ ⁣s−2g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}.

الحل المفصل

الحل
1. يتطلب تسخين الجليد إلى درجة انصهاره

Q1=mciceΔT=1,0×2,1×103×100=2,1×105 J.Q_1=mc_{\text{ice}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

2. تبقى درجة الحرارة 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} أثناء الانصهار:

Q2=mLf=1,0×3,34×105=3,34×105 J.Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5=3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3.

Q3=mcwaterΔT=1,0×4,18×103×100=4,18×105 J.Q_3=mc_{\text{water}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100=4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. يتطلب التبخر الكامل أيضاً

Q4=mLv=1,0×2,26×106=2,26×106 J.Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6=2{,}26\times10^6\,\text{J}.

إذن تتطلب هذه المرحلة وحدها طاقة من رتبة بضعة ميغاجول.

5. التبخر هو، بفارق كبير، المرحلة الأكثر استهلاكاً للطاقة:

Q4=2,26×106>Q3=4,18×105>Q2=3,34×105>Q1=2,1×105 J.Q_4=2{,}26\times10^6>Q_3=4{,}18\times10^5>Q_2=3{,}34\times10^5>Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

ويتطلب نحو (2,26×106)/(4,18×105)≈5,4(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4 أضعاف طاقة تسخين الماء السائل من 00 إلى 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.

لكتلة mm تسقط من h=10 mh=10\,\text{m}، لدينا Ep=mghE_p=mgh. بوضع mgh=Q3mgh=Q_3 نحصل على

m=Q3gh=4,18×1059,81×10≈4,26×103 kg.m=\frac{Q_3}{gh}=\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

يلزم إذاً إسقاط كتلة تقارب 4,34{,}3 أطنان من عشرة أمتار لتحرير طاقة مساوية لتسخين كيلوغرام من الماء من 00 إلى 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}. هذه قيمة هائلة تفسر أهمية تسخين الماء في استهلاك الطاقة المنزلي. كما أن السعة الحرارية النوعية للماء كبيرة مقارنة بالمعادن الشائعة؛ فهي مثلاً نحو عشرة أمثال سعة النحاس (انظر التمارين التالية).

6. التكاثف هو العملية العكسية للتبخر، فيمنح البخار الزجاج الحرارة الكامنة:

Qrel=mvLv.Q_{\text{rel}}=m_vL_v.

من أجل mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}،

Qrel=1,0×10−2×2,45×106=2,45×104 J.Q_{\text{rel}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

لذلك قد يحرر تكاثف كتلة صغيرة من البخار كمية غير مهملة من الحرارة يمتصها الزجاج ومحيطه.