محرك بين كتلتين: أقصى شغل قابل للاسترجاع

السؤال 1. الكتلتان صلبتان ولا تتلقيان شغلا. إذن تغيرا طاقتهما هما الحرارتان المتلقاتان:

$$C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.$$

يعود المحرك إلى حالته الابتدائية. تعطي حصيلة طاقته $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$، أي

$$\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.$$

الكفاءة نسبة الشغل المسترجع إلى الحرارة المتلقاة من A. بما أن $\delta W<0$، لدينا $|\delta W|=-\delta W$، ومن ثم

$$\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.$$

تتلقى الكتلة A الحرارة $-\delta Q_A<0$، والكتلة B الحرارة $-\delta Q_B>0$. بما أن السعتين الحراريتين موجبتان، $\mathrm dT_A<0$ و$\mathrm dT_B>0$. لذلك يتناقص فرق درجتي الحرارة:

$$\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.$$

تزداد النسبة $T_B/T_A$ لأن بسطها يزداد ومقامها يتناقص. تنخفض الكفاءة $1-T_B/T_A$ تدريجيا. عندما $T_A=T_B$، تنعدم: يستنفد فرق درجتي الحرارة، ولا يستطيع أي محرك دوري يعمل بين الكتلتين تقديم شغل إضافي.

السؤال 2. تعطي حصيلتا الكتلتين $\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A$ و$\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B$. نعوض في العلاقة السابقة:

$$-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.$$

بتغيير الإشارة والقسمة على $T_B$ نجد

$$C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.$$

نكامل من درجتي الحرارة الابتدائيتين إلى الدرجتين المبلغتين بعد عدد كيفي من الدورات:

$$C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.$$

إحدى الدوال الأصلية لـ$1/T$ هي $\ln T$؛ وبالتقييم عند الحدود نجد

$$C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.$$

تعبر هذه العلاقة عن انحفاظ الإنتروبيا الكلية خلال التشغيل العكوس. عندما يتوقف المحرك، $T_A=T_B=T_r$. بكتابة $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ نحصل على

$$(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.$$

بالقسمة على $C_A+C_B$ وأخذ الأس نحصل على

$$\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}$$

للكتلتين سعتان حراريتان محدودتان: يغير كل تبادل حراري درجتي حرارتهما وفق $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$، حيث $\delta Q_{\mathrm{block}}$ الحرارة التي تتلقاها الكتلة المدروسة. لذلك لا تنطبق الكفاءة الابتدائية على التجربة كلها. لا يجوز اعتبار درجتي الحرارة ثابتتين إلا داخل كل دورة متناهية في الصغر، مع استخدام قيمتيهما المحدثتين كل مرة.

السؤال 3. مجموعة الكتلتين والمحرك كظومة لكنها تقدم شغلا: فهي ليست معزولة. بما أن المحرك لا يخزن طاقة، يعطي المبدأ الأول

$$C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.$$

الشغل الذي تتلقاه المجموعة هو الشغل الذي يتلقاه المحرك. بتجميع الحدود نحصل على

$$W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.$$

الشغل المسترجع خارج النظام هو قيمته المطلقة:

$$\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}$$

لكل حاصل ضرب $CT$ وحدة طاقة، هي الجول. لفهم لماذا تعطي العكوسية القيمة القصوى، ندرس محركا ينتج إنتروبيا ويترك الكتلتين عند درجة حرارة مشتركة $T_*$. تفرض حصيلة إنتروبيا الكتلتين

$$C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.$$

بطرح الحصيلة العكوسة، وهي صفر، يبقى $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$، ومنه $T_*\geq T_r$. الشغل المتلقى أثناء تشغيل هذا المحرك $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$، ولذلك

$$W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.$$

إذن $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$: الشغل المتلقى هو الأكثر سلبية في الحالة العكوسة. لذا تكون قيمته المطلقة عظمى، $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$.

عندما $C_A=C_B=C$، الأس $1/2$، ومنه

$$T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.$$

نتعرف إلى المتطابقة $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$. ينعدم الشغل إذا تساوت درجتا الحرارة الابتدائيتان.

السؤال 4. السعة الحرارية المعطاة لكل وحدة كتلة. لذا فإن السعة الحرارية الكلية لكل كتلة هي

$$C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

يجب التعبير عن درجات الحرارة داخل الجذور التربيعية بالكلفن:

$$T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.$$

بالتعويض في نتيجة السؤال 3 نجد

$$|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.$$

إذن أقصى شغل قابل للاسترجاع نحو $0{,}58\ \mathrm{kJ}$. باصطلاح الطاقة المتلقاة، الشغل الذي يتلقاه المحرك $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$: تدل الإشارة السالبة على أنه ينقل هذه الطاقة إلى المحيط.