نص المسألة

نعود إلى تجربتي الانضغاط الكظوم في الدرس 5، مع تذكير بالنتائج المفيدة هنا. تحتوي أسطوانة رأسية معزولة حراريا، مساحة مقطعها $\mathcal S$ ، على $n$ مولا من غاز مثالي. مكبسها معزول أيضا، يتحرك دون احتكاك وكتلته مهملة. السعتان الحراريتان الموليتان $c_V$ و $c_P$ ثابتتان، مع

\gamma=\frac{c_P}{c_V}>1,\qquad c_V=\frac{R}{\gamma-1},\qquad c_P=c_V+R.

في البداية، لا يؤثر على المكبس سوى الضغط الجوي $P_0$ : الغاز في الحالة $A=(P_0,V_0,T_0)$ ، مع $P_0V_0=nRT_0$ . ترفع حمولة مضافة كتلتها $M$ الضغط الخارجي إلى

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0,\qquad x>1.

تبدأ التجربتان من $A$ . في الأولى، تضاف الحمولة ثم تزال حبة رمل بعد أخرى: يتبع الغاز المسار الكظوم العكوس $A\to B\to A$ . في الثانية، توضع الحمولة دفعة واحدة، ويبلغ التوازن $B'$ ، ثم تزال دفعة واحدة ويبلغ التوازن $B"$ . الضغط الخارجي ثابت خلال كل مرحلة مفاجئة: $P_1$ عند التحميل و $P_0$ عند التفريغ. نفترض أن الاهتزازات تتخامد بالتبدد داخل الغاز؛ يكون المكبس ساكنا في الحالتين الابتدائية والنهائية ولا يخزن طاقة.

يبدأ الانضغاطان من A (في الوسط). يسارا، تضاف الحمولة تدريجيا حتى B؛ وتعيد إزالتها تدريجيا الغاز إلى A. يمينا، توضع الحمولة فجأة حتى B'؛ وتؤدي إزالتها فجأة إلى حالة أخرى B”. يبين الرسم الانضغاطين؛ وتحدد الحالات الأربع أدناه. — الشكل 1. يبدأ الانضغاطان من $A$ (في الوسط). يسارا، تضاف الحمولة تدريجيا حتى $B$ ؛ وتعيد إزالتها تدريجيا الغاز إلى $A$ . يمينا، توضع الحمولة فجأة حتى $B'$ ؛ وتؤدي إزالتها فجأة إلى حالة أخرى $B"$ . يبين الرسم الانضغاطين؛ وتحدد الحالات الأربع أدناه.

أعطى قانونا لابلاس على المسار العكوس والمبدأ الأول على المسارين المفاجئين النتائج التالية. نعرف

\begin{aligned} \theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma},\qquad \phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}. \begin{array}{c|ccc} \text{الحالة} & P/P_0 & V/V_0 & T/T_0\\ \hline A & 1 & 1 & 1\\[3pt] B & x & x^{-1/\gamma} & x^{(\gamma-1)/\gamma}\\[3pt] B' & x & \theta/x & \theta\\[3pt] B" & 1 & \theta\phi & \theta\phi \end{array} \end{aligned}

وبخاصة،

\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma},\qquad \phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma},\qquad \theta\phi-1=\frac{\gamma-1}{\gamma^2}\frac{(x-1)^2}{x}>0.

جميع المراحل كظومة: $Q=0$ و $W=\Delta U=nc_V(T_f-T_i)$ ، مع احتساب الطاقة التي يتلقاها الغاز موجبة. إذن،

\begin{aligned} W_{AB}&=nc_VT_0\left[x^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right], & W_{BA}&=-W_{AB},\\ W_{AB'}&=nc_VT_0(\theta-1), & W_{B'B"}&=nc_VT_0\theta(\phi-1). \end{aligned}

الشغل الصافي للذهاب والإياب العكوس صفر، بينما يتلقى المسار المفاجئ $W_{AB'B"}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0$ .

احسب تغيري الإنتروبيا على $A\to B$ و $B\to A$ ، ثم أنجز حصيلة الإنتروبيا للذهاب والإياب العكوس.
احسب $\Delta S_{AB'}$ وبين أنه موجب تماما. ما الجزء المتبادل من هذا التغير وما الجزء المنتج؟
أجر الحساب نفسه للتفريغ المفاجئ $B'\to B"$ .
احسب $\Delta S_{AB"}$ مباشرة وتحقق من أنه يساوي مجموع إنتاجي الإنتروبيا السابقين. هل يشكل المسار $A\to B'\to B"$ دورة للغاز؟
قارن حصيلتي الطاقة والإنتروبيا للذهاب والإياب في التجربتين. فسر لماذا لا يعني غياب التبادل الحراري انحفاظ الإنتروبيا.

تلميح

بين حالتي توازن لغاز مثالي،

\Delta S=nc_V\ln\frac{T_f}{T_i}+nR\ln\frac{V_f}{V_i}.

لـ $B'\to B"$ ، استخدم $T_{B"}/T_{B'}=\phi$ و $V_{B"}/V_{B'}=x\phi$ . تحدد المتراجحات المذكورة في المسألة الإشارات. في كل مرحلة، $S_{\mathrm{e}}=0$ .

الحل المفصل

الحل

السؤال 1. يعطي الجدول

T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}

و

V_B/V_0=x^{-1/\gamma}

. بالتعويض في صيغة الإنتروبيا نجد

\begin{aligned} \Delta S_{AB} &=nc_V\ln\left(x^{(\gamma-1)/\gamma}\right) +nR\ln\left(x^{-1/\gamma}\right)\\ &=nc_V\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x-\frac{nR}{\gamma}\ln x\\ &=\frac n\gamma[c_V(\gamma-1)-R]\ln x=0, \end{aligned}

لأن $c_V(\gamma-1)=R$ . يتبع الإياب المسار نفسه في الاتجاه المعاكس، ولذلك $\Delta S_{BA}=0$ . لكل مرحلة وللذهاب والإياب كاملين، $S_{\mathrm{e}}=S_{\mathrm{i}}=\Delta S=0$ . يعود الغاز إلى حالته $A$ .

السؤال 2. للانضغاط المفاجئ،

T_{B'}/T_0=\theta

و

V_{B'}/V_0=\theta/x

. باستخدام

R=c_V(\gamma-1)

ثم قواعد اللوغاريتم نجد

\begin{aligned} \Delta S_{AB'} &=nc_V\ln\theta+nR\ln\frac{\theta}{x}\\ &=nc_V[\ln\theta+(\gamma-1)(\ln\theta-\ln x)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\frac{\theta^\gamma}{x^{\gamma-1}}\right). \end{aligned}

تستلزم المتراجحة المعطاة $\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma}$ أن $\theta^\gamma>x^{\gamma-1}$ : النسبة داخل اللوغاريتم أكبر من 1، ومنه $\Delta S_{AB'}>0$ . لا تتبادل إنتروبيا، ولذلك $S_{\mathrm{i},AB'}=\Delta S_{AB'}$ . تزداد إنتروبيا الغاز بالإنتاج دون أن يتلقى حرارة.

السؤال 3. أثناء التفريغ المفاجئ، النسب بين الحالتين النهائية والابتدائية لهذه المرحلة هي

\frac{T_{B"}}{T_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta}=\phi, \qquad \frac{V_{B"}}{V_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta/x}=x\phi.

إذن،

\begin{aligned} \Delta S_{B'B"} &=nc_V\ln\phi+nR\ln(x\phi)\\ &=nc_V[\ln\phi+(\gamma-1)(\ln x+\ln\phi)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\phi^\gamma x^{\gamma-1}\right)>0. \end{aligned}

بالفعل، تستلزم $\phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma}$ أن $\phi^\gamma x^{\gamma-1}>1$ . مجددا $S_{\mathrm{e}}=0$ و $S_{\mathrm{i},B'B"}=\Delta S_{B'B"}$ . يبرد الغاز خلال هذا التمدد ( $\phi<1$ )، لكن إنتروبيته تزداد: يغلب حد زيادة الحجم.

السؤال 4. للحالتين

A

و

B"

الضغط نفسه و

T_{B"}/T_0=V_{B"}/V_0=\theta\phi

، ومنه

\Delta S_{AB"}=nc_V\ln(\theta\phi)+nR\ln(\theta\phi) =nc_P\ln(\theta\phi)>0.

استخدمنا $c_P=c_V+R$ و $\theta\phi>1$ . نجمع الآن النتيجتين السابقتين:

\begin{aligned} \Delta S_{AB'}+\Delta S_{B'B"} &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x\\ &\qquad+\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\gamma(\ln\theta+\ln\phi)\\ &=nc_P\ln(\theta\phi)=\Delta S_{AB"}. \end{aligned}

تختزل حدود $\ln x$ . بما أن كل مرحلة كظومة، يساوي هذا المجموع أيضا مجموع إنتاجي الإنتروبيا. لا تكفي إعادة الضغط الخارجي إلى $P_0$ لإتمام دورة للغاز: $B"\ne A$ ، لأن $T_{B"}>T_0$ و $V_{B"}>V_0$ .

السؤال 5. لـ

A\to B\to A

، لدينا

Q_{\mathrm{tot}}=W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=0

و

S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=0

. ولـ

A\to B'\to B"

،

Q_{\mathrm{tot}}=0,\qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0, S_{\mathrm{e},\mathrm{tot}}=0,\qquad S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}=nc_P\ln(\theta\phi)>0.

يصف المبدأ الأول الشغل الصافي المحتفظ به على صورة طاقة داخلية؛ ويقيس الثاني اللاعكوسية بإنتاج الإنتروبيا. لا يكون التحول الكظوم ثابت الإنتروبيا إلا إذا لم ينتج إنتروبيا، كما في الحالة العكوسة هنا.