تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

غلاف جوي متساوي درجة الحرارة والكمون الكيميائي

تمرين 41 · الدرس 8 — اتجاه التطور والتوازن والاستقرار

الكمون الكيميائي
الغلاف الجوي
القانون البارومتري
الثقالة
غاز مثالي

نص المسألة

لمول واحد من الهواء عند الارتفاع $z$ ، يُعطى الكمون الكيميائي المعمم

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z,

حيث $M$ الكتلة المولية للهواء. يُفترض الغلاف الجوي متساوي درجة الحرارة.

فسّر لماذا يجب أن يكون $μ$ مستقلًا عن $z$ عند التوازن.
استنتج المعادلة التفاضلية التي يحققها $P (z)$ ، ثم القانون البارومتري.
قدّر $P (h) / P (0)$ من أجل $h = 8, 85 km$ و $T = 260 K$ و $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ و $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .
اذكر حدًّا مهمًا لهذا النموذج.

تلميح

عند التوازن، يجب ألا يغيّر نقلُ كمية صغيرة من المادة من ارتفاع إلى آخر الطاقةَ الحرة في الرتبة الأولى.

الحل المفصل

الحل

1. لو كان

μ

عند ارتفاع ما أكبر منه عند ارتفاع آخر، لأدى انتقال المادة نحو المنطقة ذات الكمون الأدنى إلى خفض الطاقة الحرة. فالتوازن يفرض إذن

d μ = 0

. 2. عند ثبات درجة الحرارة،

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

وهكذا $d P / P = - (M g / R T) d z$ . وبالتكامل من $0$ إلى $z$ ،

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

ومنه

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. الكتلة المولية بوحدات النظام الدولي هي $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ . والأس هو

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

إذن $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ .

4. تتغير درجة الحرارة الحقيقية للغلاف الجوي مع الارتفاع. يعطي النموذج متساوي درجة الحرارة رتبة مقدار مفيدة، لكنه لا يعطي مقطعًا دقيقًا؛ كما أنه يهمل الرطوبة وتغير التركيب.