题目

数值数据（大气压下）：

\begin{aligned} c_{\text{ice}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{water}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

在大气压下，逐步加热一千克初温为 $-100\,{}^\circ\text{C}$ 的冰。

计算把冰从 $-100\,{}^\circ\text{C}$ 加热到 $0\,{}^\circ\text{C}$ 所需的能量。
计算使冰在 $0\,{}^\circ\text{C}$ 完全熔化所需的能量。
计算把液态水从 $0\,{}^\circ\text{C}$ 加热到 $100\,{}^\circ\text{C}$ 所需的能量。
计算使水在 $100\,{}^\circ\text{C}$ 完全汽化还需增加的能量。
哪个阶段需要的能量最多？把一千克水从 $0\,{}^\circ\text{C}$ 加热到 $100\,{}^\circ\text{C}$ 所需的能量，与质量 $m$ 从十米高处下落时的重力势能进行比较。要释放相同的能量，需要多大的质量下落？
现在考虑逆过程。质量为 $m_v$ 的水蒸气在挡风玻璃上凝结，并假设所得液态水之后不再冷却。写出凝结释放的热量 $Q_{\text{rel}}$ ，并对 $m_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}$ 进行计算。在挡风玻璃的温度下取 $L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}$ 。

提示

无相变加热时使用

Q=mc\Delta T

；恒温相变时使用

Q=mL

。质量

m

在高度

h

处的重力势能为

E_p=mgh

；取

g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}

。

详细解答

解答

1. 把冰加热到熔点需要

Q_1=mc_{\text{ice}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100 =2{,}1\times10^5\,\text{J}.

2. 熔化过程中温度保持在 $0\,{}^\circ\text{C}$ ：

Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5=3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. 加热液态水需要

Q_3=mc_{\text{water}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100 =4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. 完全汽化还需要

Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6=2{,}26\times10^6\,\text{J}.

仅此阶段所需能量就达到数兆焦耳。

5. 汽化显然是耗能最大的阶段：

Q_4=2{,}26\times10^6>Q_3=4{,}18\times10^5>Q_2=3{,}34\times10^5>Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

汽化所需能量约为把液态水从 $0$ 加热到 $100\,{}^\circ\text{C}$ 所需能量的 $(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4$ 倍。

质量 $m$ 从 $h=10\,\text{m}$ 高处下落时， $E_p=mgh$ 。令 $mgh=Q_3$ ，得到

m=\frac{Q_3}{gh}=\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

因此，约 $4{,}3$ 吨的物体从十米高处下落，才能释放与把一千克水从 $0$ 加热到 $100\,{}^\circ\text{C}$ 相同的能量。这一数值很大，也解释了为什么热水在家庭能耗中占有重要比例。水的比热容相对于常见金属也很大，例如约为铜的十倍（见后续习题）。

6. 凝结是汽化的逆过程，水蒸气向挡风玻璃释放潜热

Q_{\text{rel}}=m_vL_v.

对 $m_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}$ ，

Q_{\text{rel}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

因此，即使少量水蒸气凝结，也能释放不可忽略的热量，这些热量由挡风玻璃及其周围环境吸收。