حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

حرارتی توازن کا استحکام: اینٹروپی کی مقعریت اور مثبت حرارتی گنجائش

مشق 44 · سبق 8 — ارتقا کی سمت، توازن اور استحکام

استحکام
مقعریت
زیادہ سے زیادہ اینٹروپی
حرارتی گنجائش
حرارتی توازن
بنیادی تعلق

سوال

ایک جسم کو بنیادی تعلق $S (U, V, N)$ بیان کرتا ہے۔ سوالات 1 تا 3 میں اس کا حجم اور ذرات کی تعداد مقرر رہتے ہیں؛ اس کی اینٹروپی کو سادگی سے $S (U)$ لکھتے ہیں، اور مستقل حجم پر اس کی حرارتی گنجائش کی تعریف $C_{V} = (\partial U / \partial T)_{V, N}$ سے کرتے ہیں۔

ایک سخت اور الگ تھلگ برتن میں اس جسم کے دو یکساں حصے ہیں، جن کا حجم اور ذرات کی تعداد برابر ہے، اور جو ایک ساکن، ناقابلِ نفوذ اور حرارت گزار دیوار سے جدا ہیں۔ کل توانائی $2 U_{0}$ مقرر ہے۔ پہلے حصے کی توانائی کو $U_{1}$ لکھتے ہیں؛ لہٰذا دوسرے حصے کی توانائی $2 U_{0} - U_{1}$ ہے۔

برتن کی کل اینٹروپی $S_{tot} (U_{1})$ لکھیں۔ دکھائیں کہ یکساں تقسیم $U_{1} = U_{0}$ ، $S_{tot}$ کو ساکن بناتی ہے، اور اس شرط کی تشریح کریں۔
$S_{tot} (U_{0} + ε)$ کا $ε$ میں دوسرے درجے تک پھیلاؤ لکھیں۔ $S^{''} (U_{0})$ پر کس شرط کے تحت یکساں تقسیم اینٹروپی کی مقامی زیادہ سے زیادہ قدر ہے؟ اس کے برعکس صورت میں کیا ہوتا؟
دکھائیں کہ $(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V, N} = - \frac{1}{T ^{2} C _{V}} .$ اس سے اخذ کریں کہ حرارتی توازن کا استحکام $C_{V} > 0$ لازم کرتا ہے۔ طبیعیاتی تشریح کریں: اگر $C_{V}$ منفی ہوتا تو دونوں حصوں کے درمیان توانائی کا تبادلہ کیسے ارتقا پاتا؟
اب مقررہ $N$ پر یک ایٹمی مثالی گیس لیں: $S (U, V) = N k_{B} [\frac{3}{2} ln \frac{U}{N} + ln \frac{V}{N}] + N s_{0},$ جہاں $s_{0}$ ایک مستقل ہے۔ اس کا درجۂ حرارت اور حرارتی گنجائش $C_{V}$ نکالیں۔ سبق کے دو متغیری مقعریت کے معیار کی مدد سے جانچیں کہ $S$ ، $(U, V)$ میں مقعر ہے۔
آخر میں نمونہ $S (U, V) = A U^{2} / V$ تجویز کیا جاتا ہے، جہاں $A > 0$ اور $U > 0$ ۔ جانچیں کہ یہ تعلق امتدادی ہے۔ درجۂ حرارت، پھر حرارتی گنجائش $C_{V}$ کو $V$ اور $T$ کی صورت میں نکالیں۔ کیا یہ نمونہ کسی مستحکم یکساں مادے کو بیان کر سکتا ہے؟ مقعریت کے معیار کی مدد سے نتیجہ اخذ کریں۔

اشارہ

سوال 3 کے لیے تعلق

(\partial S / \partial U)_{V, N} = 1/ T

کا

U

کے لحاظ سے مرکب تفاعل کے مشتق کے قاعدے سے تفرق کریں:

T

U

پر منحصر ہے، اور

(\partial T / \partial U)_{V, N} = 1/ C_{V}

۔ سوال 4 کے لیے دو متغیری معیار یہ ہے:

S_{U U} \leq 0

S_{V V} \leq 0

اور

S_{U U} S_{V V} - S_{U V}^{2} \geq 0

تفصیلی حل

حل

سوال 1۔ دونوں حصے ایک ہی تفاعل

S

سے بیان ہوتے ہیں، اور اینٹروپی جمع پذیر ہے:

S_{tot} (U_{1}) = S (U_{1}) + S (2 U_{0} - U_{1}) .

$U_{1}$ کے لحاظ سے تفرق کریں۔ $S (2 U_{0} - U_{1})$ کا مشتق $- S^{'} (2 U_{0} - U_{1})$ ہے، لہٰذا

\frac{d S _{tot}}{d U _{1}} = S^{'} (U_{1}) - S^{'} (2 U_{0} - U_{1}) .

$U_{1} = U_{0}$ کے لیے دونوں حصوں کی توانائی برابر ہے اور مشتق صفر ہے: یکساں تقسیم ساکن ہے۔ چونکہ $S^{'} (U) = 1/ T$ ، سکونیت کی عمومی شرط $S^{'} (U_{1}) = S^{'} (2 U_{0} - U_{1})$ دونوں حصوں کے درجہ ہائے حرارت کی برابری ہے: یہی حرارتی توازن کی شرط ہے۔

سوال 2۔ ہر حد کو

U_{0}

کے گرد دوسرے درجے تک ٹیلر کے فارمولے

f (U_{0} + h) = f (U_{0}) + f^{'} (U_{0}) h + \frac{1}{2} f^{''} (U_{0}) h^{2} + o (h^{2})

سے پھیلائیں:

S (U_{0} + ε) = S (U_{0}) + S^{'} (U_{0}) ε + \frac{1}{2} S^{''} (U_{0}) ε^{2} + o (ε^{2}), S (U_{0} - ε) = S (U_{0}) - S^{'} (U_{0}) ε + \frac{1}{2} S^{''} (U_{0}) ε^{2} + o (ε^{2}) .

انہیں جمع کرنے پر پہلے درجے کی حدیں منسوخ ہو جاتی ہیں:

S_{tot} (U_{0} + ε) = 2 S (U_{0}) + S^{''} (U_{0}) ε^{2} + o (ε^{2}) .

اگر $S^{''} (U_{0}) < 0$ تو توانائی کی ہر منتقلی $ε \neq = 0$ کل اینٹروپی کم کرتی ہے: یکساں تقسیم ایک مقامی زیادہ سے زیادہ قدر، اور لہٰذا مستحکم توازن ہے۔ اس کے برعکس اگر $S^{''} (U_{0}) > 0$ تو توانائی کی ایک چھوٹی سی منتقلی، کسی بھی سمت میں، الگ تھلگ نظام کی اینٹروپی بڑھاتی ہے۔ تب یہ منتقلی خودبخود ہو سکتی ہے: یکساں تقسیم ساکن ہونے کے باوجود غیر مستحکم ہے۔

سوال 3۔ تعریف کے مطابق

(\partial S / \partial U)_{V, N} = 1/ T

، جہاں مقررہ

V

اور

N

پر

T

U

کا تفاعل ہے۔ اس تعلق کا

U

کے لحاظ سے تفرق کریں۔

T

کے لحاظ سے

1/ T

کا مشتق

- 1/ T^{2}

ہے، لہٰذا مرکب تفاعل کے تفرق سے

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V, N} = - \frac{1}{T ^{2}} (\frac{\partial T}{\partial U})_{V, N} .

مگر $(\partial T / \partial U)_{V, N} = 1/ (\partial U / \partial T)_{V, N} = 1/ C_{V}$ ، لہٰذا

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V, N} = - \frac{1}{T ^{2} C _{V}} .

چونکہ $T^{2} > 0$ ، سوال 2 کی استحکام کی شرط $S^{''} < 0$ ، $C_{V} > 0$ کے مساوی ہے۔

تشریح: فرض کریں

C_{V} < 0

، اور تھوڑی سی توانائی حصہ 2 سے حصہ 1 میں جاتی ہے۔ حصہ 1، جس نے توانائی لی، ٹھنڈا ہو جاتا؛ حصہ 2، جس نے توانائی کھوئی، گرم ہو جاتا۔ چونکہ حرارت خودبخود گرم سے ٹھنڈے کی طرف جاتی ہے، حصہ 1 کو تب اور بھی زیادہ توانائی ملتی: فرق ختم ہونے کے بجائے بڑھتا جاتا۔

C_{V} > 0

کے ساتھ اس کا الٹ ہوتا ہے: توانائی لینے والا حصہ گرم ہوتا ہے، دوسرے کو حرارت دیتا ہے، اور فرق ختم ہو جاتا ہے۔ سوال 4۔ مقررہ

V

پر

S

کا

U

کے لحاظ سے تفرق کریں:

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = \frac{3 N k _{B}}{2 U} ⟹ U = \frac{3}{2} N k_{B} T, C_{V} = (\frac{\partial U}{\partial T})_{V} = \frac{3}{2} N k_{B} > 0.

دوسرے مشتقات نکالیں:

S_{U U} = \frac{\partial}{\partial U} (\frac{3 N k _{B}}{2 U}) = - \frac{3 N k _{B}}{2 U ^{2}} < 0, S_{V} = \frac{N k _{B}}{V}, S_{V V} = - \frac{N k _{B}}{V ^{2}} < 0,

اور $S_{U V} = 0$ ، کیونکہ $S_{U}$ ، $V$ پر منحصر نہیں۔ مقطع یہ ہے:

S_{U U} S_{V V} - S_{U V}^{2} = (- \frac{3 N k _{B}}{2 U ^{2}}) (- \frac{N k _{B}}{V ^{2}}) - 0 = \frac{3 N ^{2} k _{B}^{2}}{2 U ^{2} V ^{2}} > 0.

معیار کی تینوں شرائط ہر نقطے پر پوری ہوتی ہیں: مثالی گیس کی اینٹروپی $(U, V)$ میں مقعر ہے، اور اس کا توازن مستحکم ہے۔

سوال 5۔

U

اور

V

کو

λ > 0

سے ضرب دیں:

S (λ U, λV) = A \frac{λ ^{2} U ^{2}}{λV} = λ A \frac{U ^{2}}{V} = λ S (U, V) .

لہٰذا تعلق امتدادی ہے۔ اس کا درجۂ حرارت یہ شرط پوری کرتا ہے:

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = \frac{2 A U}{V} > 0 ⟹ U = \frac{V}{2 A T} .

مقررہ $V$ پر $U$ ، $1/ T$ کے متناسب ہے، جس کا مشتق $- 1/ T^{2}$ ہے:

C_{V} = (\frac{\partial U}{\partial T})_{V} = - \frac{V}{2 A T ^{2}} < 0.

حرارتی گنجائش منفی ہے: سوال 3 کے مطابق یہ نمونہ کسی مستحکم یکساں مادے کو بیان نہیں کر سکتا۔ مقعریت کے معیار سے براہِ راست تصدیق ہوتی ہے: $S_{U U} = 2 A / V > 0$ ، جو پہلی شرط $S_{U U} \leq 0$ ہی کی خلاف ورزی ہے۔ اس تعلق سے بیان ہونے والا جسم یکساں نہ رہتا: اس کے کسی بھی دو حصوں کے درمیان توانائی کا ذرا سا اتار چڑھاؤ بڑھتا جاتا، جیسا سوال 3 میں بیان ہوا۔

لہٰذا محض امتدادیت کسی تفاعل

S (U, V, N)

کو قابلِ قبول بنیادی تعلق بنانے کے لیے کافی نہیں: استحکام کے لیے اس کی مقعریت بھی ضروری ہے۔ تاہم فطرت میں منفی حرارتی گنجائشیں موجود ہیں، مثلاً ستاروں کے لیے، مگر صرف ایسے غیر جمع پذیر نظاموں میں جن پر کششِ ثقل حاوی ہو، اور جن پر یہ استدلال لاگو نہیں ہوتا۔