Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Uthabiti wa usawa wa joto: ubonyeo wa entropy na uwezo chanya wa joto

Zoezi 44 · Somo 8 — Mwelekeo wa mabadiliko, usawa na uthabiti

uthabiti
ubonyeo
upeo wa entropy
uwezo wa joto
usawa wa joto
uhusiano wa msingi

Swali

Kitu kinaelezwa na uhusiano wa msingi $S (U, V, N)$ . Katika maswali ya 1 hadi 3, ujazo wake na idadi yake ya chembe hubaki vimewekwa; tunaandika tu $S (U)$ kwa entropy yake, na tunafafanua uwezo wake wa joto kwa ujazo thabiti kwa $C_{V} = (\partial U / \partial T)_{V, N}$ .

Chombo kigumu kilichotengwa kina sehemu mbili zinazofanana za kitu hiki, zenye ujazo uleule na idadi ileile ya chembe, zilizotenganishwa na ukuta usiosogea, usiopitisha maada na unaopitisha joto. Nishati ya jumla $2 U_{0}$ imewekwa. Tunaandika $U_{1}$ kwa nishati ya sehemu ya kwanza; kwa hiyo ya pili ina $2 U_{0} - U_{1}$ .

Andika entropy ya jumla $S_{tot} (U_{1})$ ya chombo. Onyesha kwamba mgawanyo wa namna moja $U_{1} = U_{0}$ hufanya $S_{tot}$ kuwa tuli, na ufasiri sharti hili.
Andika mfululizo wa $S_{tot} (U_{0} + ε)$ hadi daraja la pili katika $ε$ . Ni kwa sharti gani juu ya $S^{''} (U_{0})$ ambapo mgawanyo wa namna moja ni upeo wa ndani wa entropy? Nini kingetokea katika hali ya kinyume?
Onyesha kwamba $(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V, N} = - \frac{1}{T ^{2} C _{V}} .$ Hitimisha kwamba uthabiti wa usawa wa joto unalazimisha $C_{V} > 0$ . Fasiri kifizikia: ubadilishanaji wa nishati kati ya sehemu mbili ungeendeleaje kama $C_{V}$ ingekuwa hasi?
Sasa fikiria gesi bora ya atomu moja, kwa $N$ iliyowekwa: $S (U, V) = N k_{B} [\frac{3}{2} ln \frac{U}{N} + ln \frac{V}{N}] + N s_{0},$ ambapo $s_{0}$ ni thabiti. Kokotoa halijoto yake na uwezo wake wa joto $C_{V}$ . Kwa kutumia kigezo cha ubonyeo cha vigezo viwili kilichotolewa katika somo, thibitisha kwamba $S$ ni bonyeo katika $(U, V)$ .
Hatimaye tunapendekeza kielelezo $S (U, V) = A U^{2} / V$ , ambapo $A > 0$ na $U > 0$ . Thibitisha kwamba uhusiano huu unategemea ukubwa. Kokotoa halijoto, kisha uwezo wa joto $C_{V}$ kwa kutumia $V$ na $T$ . Je, kielelezo hiki kinaweza kueleza dutu ya namna moja iliyo thabiti? Hitimisha kwa kutumia kigezo cha ubonyeo.

Kidokezo

Kwa swali la 3, tofautisha uhusiano

(\partial S / \partial U)_{V, N} = 1/ T

kuhusiana na

U

, ukitumia kitofautishi cha funksioni ya funksioni:

T

hutegemea

U

, na

(\partial T / \partial U)_{V, N} = 1/ C_{V}

. Kwa swali la 4, kigezo cha vigezo viwili huandikwa

S_{U U} \leq 0

S_{V V} \leq 0

S_{U U} S_{V V} - S_{U V}^{2} \geq 0

Jibu la kina

Suluhisho

Swali 1. Sehemu mbili zinaelezwa na funksioni ileile

S

, na entropy ni ongezekaji:

S_{tot} (U_{1}) = S (U_{1}) + S (2 U_{0} - U_{1}) .

Tutofautishe kuhusiana na $U_{1}$ . Kitofautishi cha $S (2 U_{0} - U_{1})$ ni $- S^{'} (2 U_{0} - U_{1})$ , kwa hiyo

\frac{d S _{tot}}{d U _{1}} = S^{'} (U_{1}) - S^{'} (2 U_{0} - U_{1}) .

Kwa $U_{1} = U_{0}$ , sehemu mbili zina nishati ileile na kitofautishi ni sifuri: mgawanyo wa namna moja ni tuli. Kwa kuwa $S^{'} (U) = 1/ T$ , sharti la jumla la utuli $S^{'} (U_{1}) = S^{'} (2 U_{0} - U_{1})$ ni usawa wa halijoto za sehemu mbili: hili ndilo sharti la usawa wa joto.

Swali 2. Tufungue kila neno hadi daraja la pili kuzunguka

U_{0}

, kwa fomula ya Taylor

f (U_{0} + h) = f (U_{0}) + f^{'} (U_{0}) h + \frac{1}{2} f^{''} (U_{0}) h^{2} + o (h^{2})

S (U_{0} + ε) = S (U_{0}) + S^{'} (U_{0}) ε + \frac{1}{2} S^{''} (U_{0}) ε^{2} + o (ε^{2}), S (U_{0} - ε) = S (U_{0}) - S^{'} (U_{0}) ε + \frac{1}{2} S^{''} (U_{0}) ε^{2} + o (ε^{2}) .

Tukiyajumlisha, maneno ya daraja la kwanza hufutana:

S_{tot} (U_{0} + ε) = 2 S (U_{0}) + S^{''} (U_{0}) ε^{2} + o (ε^{2}) .

Ikiwa $S^{''} (U_{0}) < 0$ , kila uhamisho wa nishati $ε \neq = 0$ hupunguza entropy ya jumla: mgawanyo wa namna moja ni upeo wa ndani, kwa hiyo ni usawa thabiti. Kinyume chake, ikiwa $S^{''} (U_{0}) > 0$ , uhamisho mdogo wa nishati, katika mwelekeo wowote, huongeza entropy ya mfumo uliotengwa. Uhamisho huu basi unaweza kutokea kwa hiari: mgawanyo wa namna moja, ingawa ni tuli, si thabiti.

Swali 3. Kwa fasili,

(\partial S / \partial U)_{V, N} = 1/ T

, ambapo

T

ni funksioni ya

U

kwa

V

N

zilizowekwa. Tutofautishe uhusiano huu kuhusiana na

U

. Kitofautishi cha

1/ T

kuhusiana na

T

- 1/ T^{2}

, kwa hiyo, kwa kanuni ya kutofautisha funksioni ya funksioni,

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V, N} = - \frac{1}{T ^{2}} (\frac{\partial T}{\partial U})_{V, N} .

Lakini $(\partial T / \partial U)_{V, N} = 1/ (\partial U / \partial T)_{V, N} = 1/ C_{V}$ , kwa hiyo

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V, N} = - \frac{1}{T ^{2} C _{V}} .

Kwa kuwa $T^{2} > 0$ , sharti la uthabiti $S^{''} < 0$ la swali la 2 ni sawa na $C_{V} > 0$ .

Fasiri: tudhani

C_{V} < 0

, na kwamba nishati ndogo inahama kutoka sehemu ya 2 kwenda sehemu ya 1. Sehemu ya 1, iliyopokea nishati, ingepoa; sehemu ya 2, iliyopoteza nishati, ingepata joto. Kwa kuwa joto hutiririka kwa hiari kutoka moto kwenda baridi, sehemu ya 1 basi ingepokea nishati zaidi tena: tofauti ingekua badala ya kupungua. Kwa

C_{V} > 0

, ni kinyume chake: sehemu inayopokea nishati hupata joto, hutoa joto kwa nyingine, na tofauti hupungua. Swali 4. Tutofautishe

S

kuhusiana na

U

kwa

V

iliyowekwa:

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = \frac{3 N k _{B}}{2 U} ⟹ U = \frac{3}{2} N k_{B} T, C_{V} = (\frac{\partial U}{\partial T})_{V} = \frac{3}{2} N k_{B} > 0.

Tukokotoe vitofautishi vya pili:

S_{U U} = \frac{\partial}{\partial U} (\frac{3 N k _{B}}{2 U}) = - \frac{3 N k _{B}}{2 U ^{2}} < 0, S_{V} = \frac{N k _{B}}{V}, S_{V V} = - \frac{N k _{B}}{V ^{2}} < 0,

na $S_{U V} = 0$ , kwa kuwa $S_{U}$ haitegemei $V$ . Diterminanti ni

S_{U U} S_{V V} - S_{U V}^{2} = (- \frac{3 N k _{B}}{2 U ^{2}}) (- \frac{N k _{B}}{V ^{2}}) - 0 = \frac{3 N ^{2} k _{B}^{2}}{2 U ^{2} V ^{2}} > 0.

Masharti matatu ya kigezo yanatimizwa kila mahali: entropy ya gesi bora ni bonyeo katika $(U, V)$ , na usawa wake ni thabiti.

Swali 5. Tuzidishe

U

V

kwa

λ > 0

S (λ U, λV) = A \frac{λ ^{2} U ^{2}}{λV} = λ A \frac{U ^{2}}{V} = λ S (U, V) .

Kwa hiyo uhusiano unategemea ukubwa. Halijoto yake inatimiza

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = \frac{2 A U}{V} > 0 ⟹ U = \frac{V}{2 A T} .

Kwa $V$ iliyowekwa, $U$ inalingana na $1/ T$ , ambayo kitofautishi chake ni $- 1/ T^{2}$ :

C_{V} = (\frac{\partial U}{\partial T})_{V} = - \frac{V}{2 A T ^{2}} < 0.

Uwezo wa joto ni hasi: kwa mujibu wa swali la 3, kielelezo hiki hakiwezi kueleza dutu ya namna moja iliyo thabiti. Tunalithibitisha moja kwa moja kwa kigezo cha ubonyeo: $S_{U U} = 2 A / V > 0$ , jambo ambalo tayari linavunja sharti la kwanza $S_{U U} \leq 0$ . Kitu kinachoelezwa na uhusiano huu hakingebaki cha namna moja: mtikisiko mdogo kabisa wa nishati kati ya sehemu zake mbili ungekua, kama ilivyoelezwa katika swali la 3.

Kwa hiyo utegemezi kwa ukubwa pekee hautoshi kufanya funksioni

S (U, V, N)

kuwa uhusiano wa msingi unaokubalika: uthabiti unahitaji pia ubonyeo wake. Hata hivyo, uwezo hasi wa joto upo katika maumbile, kwa mfano kwa nyota, lakini tu kwa mifumo isiyo ongezekaji, inayotawaliwa na uvutano, ambayo hoja hii haitumiki kwake.