Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Kubadilisha ukubwa wa mfumo

Zoezi 7 · Somo 3 — Dhana za Msingi

utegemezi kwa ukubwa
kutotegemea ukubwa
unamna moja
eneo la uso
uchanganuzi wa vipimo

Swali

Mfumo wa kawaida wa namna moja una masi $m$ , ujazo $V$ , idadi ya chembe $N$ , nishati ya ndani $U$ , halijoto $T$ na shinikizo $P$ . Hapa tunadhani kwamba $U$ ni tegemezi kwa ukubwa, tukipuuza mwingiliano wa masafa marefu na athari za kingo. Tunabadilisha ukubwa wa mfumo huku hali yake isiyotegemea ukubwa ikibaki ileile: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ , ambapo $λ > 0$ , ilhali $T$ na $P$ hubaki bila kubadilika.

Bainisha daraja la namna moja la $m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ na $V^{1/3}$ . Ni sifa zipi ni tegemezi kwa ukubwa, zipi hazitegemei ukubwa, na zipi si moja wala nyingine?
Tunapendekeza semi mbili za nishati, $U_{1} = a N k_{B} T$ na $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ , ambapo $a > 0$ haina vipimo na haitegemei ukubwa wa mfumo. Hakiki vipimo vyake, kisha bainisha ipi inaendana na dhana ya utegemezi kwa ukubwa. Eleza tena kwa nini hakiki hizi mbili ni tofauti.
Kwa tufe lenye nusukipenyo $R$ , eleza eneo la uso $A$ kwa kutegemea ujazo $V$ . Bainisha madaraja ya namna moja ya $A$ na $A / V$ tunapokuza tufe moja tu huku msongamano ukibaki uleule.
Linganisha eneo la uso la tufe lenye ujazo $8 V$ na jumla ya maeneo ya uso ya matufe manane yaliyotengana, kila moja likiwa na ujazo $V$ . Eleza kwa nini “kukuza kitu” na “kupanga nakala zake kando kwa kando” havitoi matokeo yaleyale kwa eneo la nyuso zake za mpakani.

Kidokezo

Badilisha kila sifa kwa thamani yake baada ya kubadilisha kipimo. Kizidishi kinachopatikana lazima kiwe

λ^{k}

kwa sifa ya namna moja ya daraja

k

. Kwa tufe, anza na

V = 4 π R^{3} /3

A = 4 π R^{2}

Jibu la kina

Suluhisho

Swali la 1. Katika zao, vizidishi vya kipimo huzidishwa, na katika uwiano hugawanywa. Tunapata waziwazi

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

Uwiano huu mitatu ni wa daraja $0$ , kwa hiyo hautegemei ukubwa. Kisha,

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

Hivyo $P V$ na $U^{2} / V$ ni za daraja $1$ , kwa hiyo ni tegemezi kwa ukubwa kwa maana ya sheria ya kipimo iliyotolewa; $V^{1/3}$ ni ya daraja $1/3$ , kwa hiyo si tegemezi kwa ukubwa wala isiyotegemea ukubwa. Daraja la namna moja halibainishi vizio: $P V$ hupimwa kwa jouli, lakini $U^{2} / V$ hupimwa kwa $J^{2} m^{- 3}$ .

Swali la 2.

N

ni namba isiyo na vipimo na

k_{B}

hupimwa kwa

J K^{- 1}

. Kwa hiyo semi zote mbili zina vipimo vya nishati. Hata hivyo,

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

Ni $U_{1}$ pekee inayoendana na utegemezi kwa ukubwa uliodhaniwa. Kwa hiyo fomula inaweza kuwa na vizio sahihi huku ikionyesha utegemezi usio sahihi kwa ukubwa wa mfumo. Hili halimaanishi kwamba kila nishati isiyo tegemezi kwa ukubwa imekatazwa: ni dhana iliyowekwa katika zoezi hili ndiyo inayoondoa $U_{2}$ .

Swali la 3. Tunatenga nusukipenyo, kisha tunakiweka katika usemi wa eneo la uso:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

Kwa hiyo $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : eneo la uso ni la daraja $2/3$ . Tukigawanya kwa $λV$ , tunapata $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ . Uwiano wa eneo la uso kwa ujazo ni wa daraja $- 1/3$ na hupungua tufe linapokua.

Swali la 4. Kwa tufe moja,

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

. Kwa upande mwingine, matufe manane yaliyotengana yana jumla ya eneo la uso

8 A (V)

. Kwa hiyo jumla ya eneo lao ni kubwa mara mbili. Kukuza kitu kilichoshikamana huhifadhi umbo lake na hupunguza uzito linganishi wa nyuso za mpakani. Kupanga nakala kando kwa kando huhifadhi nyuso zote za mpakani za nakala hizo. Ni lazima kubainisha operesheni ya kijiometri tunapochunguza michango ya uso; michango hiyo ndiyo hasa inayopuuzwa katika maelezo ya ujazo kwa sifa tegemezi kwa ukubwa.