효율과 성능계수: 클라우지우스 부등식으로 구하는 카르노 한계

문제 1. 세 작동 방식은 실제 전달 방향으로 구별된다.

• 열기관에서 유체는 고온 열원에서 열을 받고, 저온 열원에 열을 내주며, 일을 내놓는다. 즉 $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$, $W<0$ 이다.
• 냉장고와 열펌프에서는 모두 유체가 일을 받고, 저온 열원에서 열을 빼내어 고온 열원에 열을 내준다. 즉 $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$, $Q_{\mathrm{H}}<0$ 이다. 두 기관은 똑같고, 기대하는 효과, 곧 저온 열원을 냉각하느냐 고온 열원을 가열하느냐만 다르다.

한 순환이 끝나면 유체는 처음 상태로 돌아오므로 내부 에너지는 변하지 않는다. 즉 $\Delta U=0$ 이다. 제1법칙 $\Delta U=Q+W$ 에서 세 경우 모두

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

문제 2. 열기관에서는 $W<0$ 이므로 $|W|=-W$ 이다. 제1법칙에서 $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$ 이므로

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

냉장고나 열펌프에서는 $W>0$ 이고 제1법칙에서 $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$ 이다. $Q_{\mathrm{H}}<0$ 이므로 $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$ 이다. 따라서

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

$-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$ 이므로

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

열기관에서는 $Q_{\mathrm{C}}<0$, $Q_{\mathrm{H}}>0$ 이므로 $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ 이고 $\eta <1$ 이다. 내놓은 일은 받은 열을 넘을 수 없으며, 이는 제1법칙만으로 보장된다. 반면 성능계수는 $1$ 을 넘을 수 있다. 열펌프는 자신이 내주는 열을 만들어 내는 것이 아니라 차가운 곳에서 뜨거운 곳으로 옮기며, 받은 일은 그중 일부일 뿐이다. 게다가 ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$ 이므로 언제나 ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$ 이다.

문제 3. 유체는 두 열원하고만 열을 주고받으며 순환한다. 클라우지우스 부등식은

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0$$

이고, 등호는 순환이 가역일 때, 그리고 그때에만 성립한다. 저온 항을 한쪽으로 옮긴 뒤 $T_{\mathrm{C}}>0$ 을 곱하면 부등호의 방향은 그대로이다.

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

열기관에서는 $Q_{\mathrm{H}}>0$ 이다. $Q_{\mathrm{H}}$ 로 나누어도 부등호의 방향은 그대로이다.

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

이를 문제 2의 식에 대입하면

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

등호는 클라우지우스 부등식이 등식일 때, 곧 순환이 가역일 때, 그리고 그때에만 성립한다. 이렇게 작동 유체에 대한 어떤 가정도 없이 카르노의 첫째 정리와 셋째 정리를 다시 얻는다. 끝으로 $\eta =1$ 이려면 $Q_{\mathrm{C}}=0$ 이어야 한다. 그러면 클라우지우스 부등식은 $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$ 이 되어 $Q_{\mathrm{H}}>0$ 과 모순된다. 이것이 켈빈–플랑크 서술이다. 열기관은 반드시 저온 열원에 열을 내주어야 한다.

문제 4. 이번에는 클라우지우스 부등식에서 고온 항을 한쪽으로 옮긴 뒤 $T_{\mathrm{H}}>0$ 을 곱한다.

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

마지막 단계에서 양변의 부호를 바꾸었으므로 부등호의 방향이 뒤집혔다. 양변에 $-Q_{\mathrm{C}}$ 를 더하고 $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$ 를 이용하면

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

양변은 모두 양수이다. $W>0$ 으로 나눈 뒤 $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$ 을 곱하면

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

문제 2의 관계식을 쓰면

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

열기관에서와 마찬가지로 이 한계는 가역 기관만이 도달한다.

문제 5. $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$ 이면 효율의 한계 $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ 는 $0$ 으로 간다. 온도 차가 없으면 일을 전혀 만들어 낼 수 없다. 반대로 두 COP의 한계는 분모 $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ 가 $0$ 으로 가므로 무한대로 발산한다. 같은 온도의 두 물체 사이에서 열을 옮기는 데에는, 가역 극한에서, 일이 전혀 들지 않는다. $T_{\mathrm{C}}\to 0$ 이면 효율의 한계는 $1$ 로 가고, ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ 의 한계는 $0$ 으로 간다. 점점 더 차가운 물체에서 열을 빼내려면 빼낸 1줄당 점점 더 많은 일이 든다. 절대 영도를 향해 냉각하는 일은 갈수록 더 많은 비용이 든다. 문제 6. 냉장고의 경우

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

냉동고의 경우

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

빼낸 열 1줄당 소비하는 일은 $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ 이다. 따라서 두 최소 소비량의 비는 $18,5/6,7\approx 2,8$ 이다. 이상적인 경우에도 냉동고는 같은 열을 빼내는 데 냉장고보다 거의 세 배의 일을 소비한다. 넘어서야 할 온도 차가 두 배 이상 크기 때문이다. 비가역적인 실제 기기는 이 한계에 한참 못 미친다.