1. Tentare di comprendere la termodinamica
Questa introduzione è volutamente densa. Il suo scopo è meno quello di insegnare che di offrire fin dall'inizio una visione d'insieme di che cosa sia la termodinamica. Essa funge inoltre più da sintesi che da anticipazione di ciò che affronteremo in dettaglio nel corso. Il lettore che trovi difficile questa introduzione alla prima lettura non deve preoccuparsi: si consiglia vivamente di rileggerla dopo aver studiato il resto del corso. L'obiettivo non è soltanto saper fare termodinamica, cosa che molti studenti riescono a fare; è comprendere la natura della teoria, e questo è decisamente più difficile.
La termodinamica condivide con la meccanica classica l'ambizione di applicare un quadro formale unificato all'evoluzione di grandezze fisiche misurabili. In meccanica, queste grandezze sono le posizioni e le velocità direttamente accessibili all'osservazione. In termodinamica si studiano sistemi macroscopici composti da un numero enorme di particelle, e non si tratta certo di descrivere con precisione posizioni e velocità. Al contrario, anche l'esperienza comune ci insegna che le grandezze pertinenti a questa scala sono pressione, temperatura, volume, energia, concentrazioni, ecc. Queste grandezze sembrano altrettanto familiari, ma hanno uno statuto epistemico diverso. Alcune sono grandezze aggregate sull'intero sistema (per esempio l'energia totale e le concentrazioni), mentre altre, come temperatura e pressione, sono emergenti. La termodinamica formalizza le relazioni tra queste grandezze macroscopiche. Le equazioni così ottenute hanno senso soltanto a questa scala.
Ciò solleva immediatamente una questione centrale che la termodinamica non può risolvere da sola, ma che presuppone: perché un piccolo numero di parametri è sufficiente a descrivere l'evoluzione di un sistema tanto complesso? Perché non occorre conoscere la posizione e la velocità di ogni molecola per prevedere il comportamento di un gas? Questo fatto notevole, l'oblio macroscopico del microscopico, è il postulato fondatore della teoria. È corroborato da due secoli di esperimenti, ma la sua spiegazione profonda appartiene alla fisica statistica e resta una questione parzialmente aperta.
La situazione sarebbe ancora abbastanza semplice se ci limitassimo ad ammetterlo. Tuttavia, sperimentalmente si osserva in questi sistemi un fenomeno nuovo: alcune trasformazioni sono spontanee in un verso e impossibili nel verso opposto. Per esempio, il calore passa spontaneamente dal caldo al freddo, e mai viceversa. Questa asimmetria osservata nei fenomeni fisici impone alla teoria di distinguere rigorosamente le trasformazioni reversibili dalle trasformazioni irreversibili.
Ciò richiede l'introduzione di una nuova grandezza, priva di equivalente nella meccanica classica: l'entropia, una delle quantità fisiche più difficili da comprendere. È una grandezza scalare associata allo stato macroscopico del sistema e può soltanto aumentare durante l'evoluzione spontanea di un sistema isolato. La termodinamica non fornisce dunque un'equazione differenziale dell'evoluzione temporale nel senso della meccanica, ma stabilisce un bilancio basato sull'entropia, che vincola il verso delle trasformazioni possibili e quantifica il loro grado di irreversibilità. Questo è il secondo principio della termodinamica.
La possibilità di dimenticare i dettagli microscopici, unita all'esistenza dell'entropia, è responsabile della notevole universalità dei fenomeni termodinamici. Un gas perfetto, un equilibrio chimico e un equilibrio stellare soddisfano tutti le stesse leggi strutturali. In ultima analisi, questi due fenomeni sono legati a una descrizione probabilistica dello stato microscopico del sistema. È questo l'oggetto della fisica statistica, che permette di chiarire la ragion d'essere della teoria termodinamica. Tale discussione sarà tuttavia rinviata alla seconda parte, più avanzata, dell'opera.
Il seguito della lezione illustra più in dettaglio questo percorso storico e concettuale, che in due secoli ci ha condotti dalle macchine a vapore all'entropia dei buchi neri. Ne approfittiamo per indicare in grassetto il lessico tipico della termodinamica, che verrà definito progressivamente e con rigore nel resto dell'opera.
2. Una teoria della conversione del calore in lavoro
La termodinamica nasce all'inizio del XIX secolo dallo studio delle macchine termiche, in particolare della macchina a vapore. Nasce dall'esigenza di comprendere e quantificare la conversione dell'energia liberata dalla combustione in lavoro meccanico. Nel seguito parleremo di calore, ma occorre ricordare che questo concetto era ancora molto poco compreso ai tempi di Carnot. La sua definizione moderna stabilisce che il calore è un modo di trasferimento dell'energia interna tra due sistemi.
La macchina a vapore stessa era più antica: dispositivi che sfruttavano il vapore per pompare o spostare fluidi comparvero in Europa già nel XVII secolo. Ma fu Watt, a partire dal 1769, a trasformarla in una macchina realmente industriale. Il suo rendimento (si veda sotto) era tuttavia ancora piuttosto basso. Una domanda divenne allora urgente. Si poteva fare meglio e, in caso affermativo, come?
La questione è la seguente. Bruciare carbone libera energia, ma questa non fa girare immediatamente una ruota o un albero motore. Per farlo, deve essere convertita in lavoro meccanico. È precisamente ciò che fanno, in generale, le macchine termiche; esempi moderni sono le centrali termiche (a carbone, a gas naturale o nucleari) e i motori a benzina. Il rendimento viene calcolato come il rapporto tra l'energia meccanica prodotta e la quantità di energia ricevuta, e si cerca di massimizzarlo.
Precisiamo che cosa si intende per macchina termica. Si può concepire un dispositivo che converta il calore ricevuto in lavoro durante un'unica operazione: un gas posto a contatto con una sorgente ad alta temperatura, detta sorgente calda, si espande e spinge un pistone, potendo così convertire integralmente in lavoro il calore ricevuto. Ma questo dispositivo funzionerà una sola volta, a meno che il pistone non venga riportato alla posizione iniziale. Ciò che chiamiamo motore è una macchina progettata per funzionare indefinitamente, in un ciclo. Deve tornare periodicamente allo stato iniziale (cfr. Fig. 1).
È proprio questa ricerca del rendimento massimo a condurre a una scoperta profonda: alcuni limiti non sono di natura tecnica, ma fondamentale.
3. Una teoria basata sul secondo principio
Consideriamo un periodo di forte calura. Un moderno condizionatore riceve energia elettrica e la utilizza per raffreddare l'aria di una stanza, sottraendole calore e cedendolo all'esterno. Non sarebbe molto più vantaggioso prelevare semplicemente il calore dalla stanza e convertirlo integralmente in lavoro meccanico? Raffredderemmo la stanza producendo al contempo energia utile, per così dire gratuitamente.
Realizzare ciò significherebbe costruire un motore termico ciclico capace di convertire integralmente in lavoro il calore ricevuto, aspirando calore dalla stanza fino a portarla allo zero assoluto. Se una simile macchina non si trova nel negozio sotto casa, non è perché nessuno sia riuscito a costruirla: è perché è impossibile (cfr. Fig. 2).
Questo potente risultato fu stabilito progressivamente nel corso del XIX secolo. La storia esatta è piuttosto complessa e la esamineremo per intero. A rischio di essere per il momento leggermente imprecisi, affermiamo i seguenti punti:
- Nel 1824 Carnot mostrò che, per funzionare, un motore termico deve necessariamente cedere una parte del calore ricevuto dalla sorgente calda a un ambiente più freddo — la cosiddetta sorgente fredda. Un motore converte in lavoro meccanico una frazione del flusso termico che scorre dal caldo al freddo, mai la totalità. Egli stabilì inoltre (con un ragionamento davvero magnifico) che il rendimento di qualunque macchina termica è limitato superiormente da un valore teorico che dipende soltanto dalle temperature delle due sorgenti, e non dai dettagli tecnici del motore né dal fluido che vi circola. È il rendimento di Carnot, del quale dimostrò l'esistenza senza poterne fornire l'espressione esatta, in mancanza di una definizione rigorosa della temperatura.
- Intorno al 1848 Kelvin colmò precisamente questa lacuna, definendo una scala assoluta di temperatura, quella ancora oggi utilizzata. Ciò fissò l'espressione esatta del rendimento di Carnot. Così facendo rese esplicito quanto Carnot aveva in realtà già dimostrato: è impossibile convertire integralmente il calore in lavoro nel corso di un ciclo. Questo è noto come enunciato di Kelvin del secondo principio ed è ciò che rende impossibile costruire il condizionatore perfetto descritto sopra.
- Infine Clausius, tra il 1850 e il 1865, comprese che questo rendimento massimo impone l'esistenza di una nuova grandezza, che chiamò entropia. Capì che tale grandezza misura l'irreversibilità dei processi fisici: può soltanto aumentare durante l'evoluzione spontanea di un sistema isolato. È il secondo principio nella sua formulazione più generale, ancora oggi utilizzata.
La lezione per gli ingegneri dell'epoca fu radicale. Aumentare il rendimento non era soltanto questione di ridurre gli attriti o le perdite termiche, ma anche di agire su due leve del tutto diverse: progettare macchine il cui funzionamento si avvicinasse il più possibile al ciclo ideale di Carnot e aumentare la differenza di temperatura tra la sorgente calda e quella fredda1. Questa conclusione, bisogna riconoscerlo, era tutt'altro che evidente e illustra perfettamente la capacità predittiva della termodinamica.
A lezione propongo spesso il seguente esempio, perché colpisce molto: per sfortuna vi trovate su una zattera in mezzo all'oceano, senza motore, vela o remi. Potete avanzare? Sì, nuotando... oppure avete sulla zattera gli strumenti necessari per costruire un sistema meccanico e potete realizzarlo in modo che sfrutti la piccola differenza di temperatura tra l'aria sopra di voi e l'acqua, generalmente più fredda, sotto di voi. Costruite così un motore che funziona senza benzina. Il messaggio principale, spesso sorprendente, è che un motore termico non ha bisogno di combustibile per funzionare. O meglio, il gradiente di temperatura è il combustibile.
D'altra parte, questo esempio non è poi così fantasioso, poiché le centrali OTEC (dall'inglese Ocean Thermal Energy Conversion) sono impianti industriali che sfruttano la differenza di temperatura tra l'acqua oceanica superficiale e quella profonda per ricavarne lavoro meccanico.
4. Una teoria universale
La questione originaria ha dunque trovato una risposta definitiva. Ma la scoperta dell'entropia e del secondo principio mostrò ai fisici dell'epoca che la teoria nata per descrivere le macchine termiche aveva una portata ben più ampia e apparteneva molto più chiaramente alla fisica fondamentale che all'ingegneria.
Dopo Carnot e Clausius, una domanda divenne infatti centrale: che cos'è l'entropia e perché esiste? Nella seconda parte dell'opera vedremo che la fisica statistica fornisce una risposta profonda interpretando probabilisticamente lo stato di un sistema: uno stesso stato macroscopico può corrispondere a una moltitudine di stati microscopici diversi. Ed è proprio perché questi fondamenti sono probabilistici — e perché le probabilità sono universali — che la teoria termodinamica acquisisce un campo di applicazione estremamente vasto.
Così, oltre ai motori, si è scoperto per esempio che la termodinamica governa anche i cambiamenti di fase: determina le condizioni esatte in cui l'acqua bolle o il ghiaccio fonde. Descrive inoltre gli equilibri chimici, stabilendo il verso spontaneo delle reazioni e gli scambi di energia che le accompagnano. Ha permesso di calcolare la potenza irradiata da qualunque corpo in equilibrio termico, la cosiddetta radiazione di corpo nero, la cui comprensione microscopica da parte di Planck diede origine alla meccanica quantistica. Ancora più sorprendentemente, Bekenstein e Hawking mostrarono nel 1973—1974 che anche i buchi neri sono oggetti termodinamici, dotati di temperatura ed entropia ben definite. Questo risultato continua a guidare la ricerca sulla gravità quantistica.
Questa varietà di applicazioni potrebbe dare l'impressione di una proliferazione di formule. In realtà, l'architettura della teoria è relativamente semplice: pochi concetti — sistema, equilibrio, energia, entropia — e alcuni principi generali bastano a organizzare l'insieme (cfr. Fig. 3). Il resto di questa prima parte consiste precisamente nel mostrarlo in modo esplicito.
5. Programma del corso
Molti manuali introduttivi di termodinamica dedicano ampio spazio alla fisica del gas perfetto. Questo approccio ha certamente il vantaggio di consentire un avvicinamento graduale alla teoria, ma rischia di far credere allo studente che essa si riduca allo studio di cilindri, pistoni e dell'equazione dei gas perfetti.
Ci auguriamo di aver fornito elementi sufficienti per comprendere che ridurre la termodinamica ai gas costituirebbe un grave fraintendimento della natura della teoria. Non privilegeremo quindi questo approccio progressivo, ma affronteremo direttamente gli aspetti più strutturali della teoria: il suo lessico specifico, il suo formalismo differenziale e il concetto di entropia, che rimane una delle grandezze più sottili della fisica.
Il gas perfetto non sarà tuttavia assente: servirà da esempio ricorrente per illustrare ogni nuovo concetto. Ma resterà ciò che è: un caso particolare comodo, non il cuore della teoria.
Il programma del corso sarà il seguente:
- Lezione 2: Prospettiva storica. Un riesame della teoria del calorico e della transizione al formalismo moderno (questa lezione può essere saltata alla prima lettura).
- Lezione 3: Concetti fondamentali. Definizione rigorosa del lessico di base (sistema, variabili di stato, equilibrio).
- Lezione 4: Il primo principio. Studio dei trasferimenti energetici e introduzione del formalismo differenziale.
- Lezione 5: Reversibilità ed entropia. Introduzione del secondo principio come misura dell'irreversibilità delle trasformazioni.
- Lezione 6: La relazione fondamentale e i potenziali termodinamici. Unificazione dei due principi () e costruzione degli strumenti di ottimizzazione.
- Lezione 7: Cicli e macchine termiche. Applicazione e dimostrazione rigorosa dei limiti di rendimento introdotti in questa lezione.
- Lezione 8: Cambiamenti di fase. Studio delle transizioni della materia e delle condizioni di equilibrio multifase.