Rendimento e coefficienti di prestazione: i limiti di Carnot dalla disuguaglianza di Clausius

Domanda 1. I tre funzionamenti si distinguono per il verso reale dei trasferimenti.

• Da motore, il fluido riceve calore dal termostato caldo, ne cede al termostato freddo e fornisce lavoro: $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$ e $W<0$.
• Da frigorifero come da pompa di calore, il fluido riceve lavoro, preleva calore dal termostato freddo e ne cede al termostato caldo: $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$ e $Q_{\mathrm{H}}<0$. Le due macchine sono identiche; cambia soltanto l'effetto desiderato, raffreddare il termostato freddo o riscaldare il termostato caldo.

Su un ciclo il fluido ritorna al suo stato iniziale, quindi la sua energia interna non varia: $\Delta U=0$. Il primo principio $\Delta U=Q+W$ dà, nei tre casi,

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

Domanda 2. Da motore, $W<0$, quindi $|W|=-W$. Il primo principio dà $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, da cui

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

Da frigorifero o da pompa di calore, $W>0$ e il primo principio dà $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$. Poiché $Q_{\mathrm{H}}<0$, si ha $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$. Quindi

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

Poiché $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

Da motore, $Q_{\mathrm{C}}<0$ e $Q_{\mathrm{H}}>0$, quindi $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ ed $\eta <1$: il lavoro fornito non può superare il calore ricevuto, e il primo principio basta a garantirlo. Un coefficiente di prestazione, al contrario, può superare $1$: una pompa di calore non produce il calore che cede, ma lo trasporta dal freddo al caldo, e il lavoro ricevuto ne costituisce solo una parte. Si ha anzi sempre ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$, poiché ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$.

Domanda 3. Il fluido percorre un ciclo scambiando calore soltanto con i due termostati. La disuguaglianza di Clausius si scrive

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

con l'uguaglianza se e solo se il ciclo è reversibile. Isoliamo il termine freddo, poi moltiplichiamo per $T_{\mathrm{C}}>0$, il che conserva il verso della disuguaglianza:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Da motore, $Q_{\mathrm{H}}>0$: dividiamo per $Q_{\mathrm{H}}$, il che conserva ancora il verso della disuguaglianza,

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Sostituendo nell'espressione della domanda 2,

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

L'uguaglianza si ottiene se e solo se la disuguaglianza di Clausius è un'uguaglianza, cioè per un ciclo reversibile: si ritrovano il primo e il terzo teorema di Carnot senza alcuna ipotesi sul fluido di lavoro. Infine, $\eta =1$ richiederebbe $Q_{\mathrm{C}}=0$; la disuguaglianza di Clausius diventerebbe allora $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$, in contraddizione con $Q_{\mathrm{H}}>0$. È l'enunciato di Kelvin–Planck: un motore deve necessariamente cedere calore al termostato freddo.

Domanda 4. Partiamo questa volta dalla disuguaglianza di Clausius isolando il termine caldo, poi moltiplichiamo per $T_{\mathrm{H}}>0$:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

poiché il verso della disuguaglianza si inverte passando agli opposti. Aggiungiamo $-Q_{\mathrm{C}}$ a entrambi i membri e usiamo $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Entrambi i membri sono positivi. Dividiamo per $W>0$, poi moltiplichiamo per $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Con la relazione della domanda 2,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Come per il motore, questi limiti sono raggiunti soltanto da una macchina reversibile.

Domanda 5. Quando $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$, il limite del rendimento $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ tende a $0$: senza differenza di temperatura non si può produrre alcun lavoro. I limiti dei due COP, il cui denominatore $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ tende a $0$, tendono invece all'infinito: trasferire calore tra due corpi alla stessa temperatura non costa, al limite reversibile, alcun lavoro. Quando $T_{\mathrm{C}}\to 0$, il limite del rendimento tende a $1$, e quello del ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ tende a $0$: estrarre calore da un corpo sempre più freddo costa sempre più lavoro per joule estratto; raffreddare verso lo zero assoluto diventa sempre più dispendioso. Domanda 6. Per il frigorifero,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

Per il congelatore,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

Il lavoro speso per joule di calore estratto vale $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$. Il rapporto tra le due spese minime è quindi $18,5/6,7\approx 2,8$: anche nel caso ideale, il congelatore spende quasi tre volte più lavoro del frigorifero per estrarre lo stesso calore, perché la differenza di temperatura da superare è più che doppia. Gli apparecchi reali, irreversibili, restano nettamente al di sotto di questi limiti.