Ejercicio resuelto de termodinámica

Integrar una forma diferencial a lo largo de un camino

Ejercicio 6 · Lección 4 — El primer principio de la termodinámica

  • forma diferencial
  • diferencial exacta
  • criterio de Schwarz
  • integral de línea

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Enunciado

Se consideran las dos formas diferenciales

ω1=y dx+x dy,ω2=y dx,\omega_1=y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y,\qquad \omega_2=y\,\mathrm{d}x,

y tres caminos que unen el origen O(0,0)O(0,0) con el punto M(1,1)M(1,1): γ1\gamma_1, formado por el segmento horizontal O→(1,0)O\to(1,0) seguido del vertical (1,0)→M(1,0)\to M; γ2\gamma_2, formado por el segmento vertical O→(0,1)O\to(0,1) seguido del horizontal (0,1)→M(0,1)\to M; y γ3\gamma_3, el segmento rectilíneo que une directamente OO con MM.

  1. Demostrar que ω1\omega_1 es exacta hallando una función ff tal que ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f.
  2. Calcular ∫γ1ω1\int_{\gamma_1}\omega_1 y ∫γ2ω1\int_{\gamma_2}\omega_1 parametrizando cada segmento. Obtener de nuevo el resultado sin calcular.
  3. Aplicar el criterio de Schwarz a ω2\omega_2. ¿Qué se puede concluir?
  4. Calcular ∫γ1ω2\int_{\gamma_1}\omega_2, ∫γ2ω2\int_{\gamma_2}\omega_2 y ∫γ3ω2\int_{\gamma_3}\omega_2. Comentar los resultados.

Pista
En un segmento horizontal dy=0\mathrm{d}y=0 y en uno vertical dx=0\mathrm{d}x=0: cada integral se reduce a una integral simple.

Solución detallada

Solución
Pregunta 1. Sirve f(x,y)=xyf(x,y)=xy, pues ∂f/∂x=y\partial f/\partial x=y y ∂f/∂y=x\partial f/\partial y=x.

Pregunta 2. Para una curva parametrizada por t↦(x(t),y(t))t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr),

∫γω1=∫[y(t)x′(t)+x(t)y′(t)] dt.\int_\gamma\omega_1=\int\left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.

El camino γ1\gamma_1 es la unión de dos segmentos. En el primero, x(t)=tx(t)=t, y(t)=0y(t)=0 y t∈[0,1]t\in[0,1]; por tanto, dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t y dy=0\mathrm{d}y=0. En el segundo, x(t)=1x(t)=1, y(t)=ty(t)=t, también con t∈[0,1]t\in[0,1]; por tanto, dx=0\mathrm{d}x=0 y dy=dt\mathrm{d}y=\mathrm{d}t. En consecuencia,

I1=∫γ1ω1=∫01(0×1+t×0) dt+∫01(t×0+1×1) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1 &=\int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}

Para γ2\gamma_2, el primer segmento se parametriza mediante x(t)=0x(t)=0, y(t)=ty(t)=t, y el segundo mediante x(t)=tx(t)=t, y(t)=1y(t)=1, con t∈[0,1]t\in[0,1] en ambos:

I2=∫γ2ω1=∫01(t×0+0×1) dt+∫01(1×1+t×0) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1 &=\int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}

Los dos valores coinciden. Se podía prever sin cálculo: como ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f con f(x,y)=xyf(x,y)=xy, su integral solo depende de los extremos,

∫γω1=f(M)−f(O)=f(1,1)−f(0,0)=1.\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

Pregunta 3. Escribamos ω2=A(x,y) dx+B(x,y) dy\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y. Aquí A(x,y)=yA(x,y)=y y B(x,y)=0B(x,y)=0. Si la forma fuera exacta, el criterio de Schwarz daría

∂A∂y=∂B∂x.\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

Sin embargo, ∂A/∂y=1\partial A/\partial y=1, mientras que ∂B/∂x=0\partial B/\partial x=0. Las derivadas cruzadas difieren, por lo que ω2\omega_2 no es exacta. Su integral puede depender del camino seguido entre OO y MM, como confirma el cálculo siguiente.

Pregunta 4. Como ω2=y dx\omega_2=y\,\mathrm{d}x, solo puede contribuir a la integral una variación de xx efectuada con un valor no nulo de yy. Con las parametrizaciones anteriores, sobre γ1\gamma_1 se obtiene

J1=∫γ1ω2=∫010×1 dt+∫01t×0 dt=0.\begin{aligned}J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1t\times0\,\mathrm{d}t\\&=0.\end{aligned}

En γ2\gamma_2, el primer segmento cumple x(t)=0x(t)=0, luego dx=0\mathrm{d}x=0; en el segundo, x(t)=tx(t)=t, y(t)=1y(t)=1 y dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t. Así,

J2=∫γ2ω2=∫01t×0 dt+∫011×1 dt=1.\begin{aligned}J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t\\&=1.\end{aligned}

Por último, el segmento diagonal γ3\gamma_3 se parametriza mediante

x(t)=t,y(t)=t,t∈[0,1],x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

de donde dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t y dy=dt\mathrm{d}y=\mathrm{d}t. Se sigue que

J3=∫γ3ω2=∫01y(t)x′(t) dt=∫01t dt=12.J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2=\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t=\frac12.

Los tres caminos tienen los mismos extremos, pero dan tres valores distintos: J1=0J_1=0, J2=1J_2=1 y J3=1/2J_3=1/2. Esta es precisamente la dependencia del camino característica de una forma diferencial no exacta.