Integrar una forma diferencial a lo largo de un camino

Pregunta 1. Sirve $f(x,y)=xy$, pues $\partial f/\partial x=y$ y $\partial f/\partial y=x$. Pregunta 2. Para una curva parametrizada por $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$,

$$\int_\gamma\omega_1=\int\left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.$$

El camino $\gamma_1$ es la unión de dos segmentos. En el primero, $x(t)=t$, $y(t)=0$ y $t\in[0,1]$; por tanto, $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ y $\mathrm{d}y=0$. En el segundo, $x(t)=1$, $y(t)=t$, también con $t\in[0,1]$; por tanto, $\mathrm{d}x=0$ y $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. En consecuencia,

$$\begin{aligned} I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1 &=\int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}$$

Para $\gamma_2$, el primer segmento se parametriza mediante $x(t)=0$, $y(t)=t$, y el segundo mediante $x(t)=t$, $y(t)=1$, con $t\in[0,1]$ en ambos:

$$\begin{aligned} I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1 &=\int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}$$

Los dos valores coinciden. Se podía prever sin cálculo: como $\omega_1=\mathrm{d}f$ con $f(x,y)=xy$, su integral solo depende de los extremos,

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$ Pregunta 3. Escribamos $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$. Aquí $A(x,y)=y$ y $B(x,y)=0$. Si la forma fuera exacta, el criterio de Schwarz daría $$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

Sin embargo, $\partial A/\partial y=1$, mientras que $\partial B/\partial x=0$. Las derivadas cruzadas difieren, por lo que $\omega_2$ no es exacta. Su integral puede depender del camino seguido entre $O$ y $M$, como confirma el cálculo siguiente.

Pregunta 4. Como $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$, solo puede contribuir a la integral una variación de $x$ efectuada con un valor no nulo de $y$. Con las parametrizaciones anteriores, sobre $\gamma_1$ se obtiene

$$\begin{aligned}J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1t\times0\,\mathrm{d}t\\&=0.\end{aligned}$$

En $\gamma_2$, el primer segmento cumple $x(t)=0$, luego $\mathrm{d}x=0$; en el segundo, $x(t)=t$, $y(t)=1$ y $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$. Así,

$$\begin{aligned}J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t\\&=1.\end{aligned}$$

Por último, el segmento diagonal $\gamma_3$ se parametriza mediante

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

de donde $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ y $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Se sigue que

$$J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2=\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t=\frac12.$$

Los tres caminos tienen los mismos extremos, pero dan tres valores distintos: $J_1=0$, $J_2=1$ y $J_3=1/2$. Esta es precisamente la dependencia del camino característica de una forma diferencial no exacta.