Gelöste Thermodynamikaufgabe

Die zum Vergrößern eines Seifenfilms nötige Arbeit

Übung 13 · Lektion 4 — Der erste Hauptsatz der Thermodynamik

Oberflächenspannung
verallgemeinerte Arbeit
Grenzfläche
Seifenfilm

Aufgabenstellung

Ein ebener Seifenfilm ist in einem rechteckigen Rahmen aufgespannt, dessen eine Seite, ein Bügel der Länge $ℓ$ , reibungsfrei gleiten kann. Der Abstand $x$ zwischen diesem Bügel und der gegenüberliegenden Rahmenseite nimmt von $x_{A}$ auf $x_{B}$ zu. Der Film besitzt zwei Grenzflächen zwischen Luft und Flüssigkeit mit jeweils der als konstant angenommenen Oberflächenspannung $γ$ . Randeffekte, Gewichtskraft und Volumenarbeit werden vernachlässigt; das Flüssigkeitsvolumen ist konstant, und es wird keine Flüssigkeit ausgetauscht. Die Verschiebung erfolgt so langsam, dass das mechanische Gleichgewicht erhalten bleibt. Für die Bildung von Grenzfläche lautet die aufgenommene Arbeit $δ W = γ d A$ , wobei $A$ die Gesamtfläche der Grenzflächen ist.

Skizzieren Sie Rahmen und Bügel und tragen Sie $x$ , $ℓ$ und die Richtung der äußeren Zugkraft ein. Geben Sie $A (x)$ und anschließend $d A$ an.
Bestimmen Sie die erforderliche äußere Kraft und berechnen Sie die aufgenommene Arbeit, wenn $x$ von $x_{A}$ auf $x_{B}$ zunimmt.
Berechnen Sie diese Kraft und diese Arbeit für $γ = 30 mN m^{- 1}$ , $ℓ = 5, 0 cm$ und $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ . Welchen Fehler würde man machen, wenn man eine der beiden Seiten vergäße?
Der Film wird mithilfe eines Thermostaten auf konstanter Temperatur gehalten. Genügt die Kenntnis von $γ$ und der Flächenänderung allein, um $Δ U$ und $Q$ zu bestimmen?

Hinweis

Jede Seite hat die Fläche

ℓ x

. Setzen Sie die Arbeit

F_{ext} d x

mit der Arbeit zur Bildung der beiden Grenzflächen gleich. Unterscheiden Sie in der letzten Frage zwischen der aufgenommenen Arbeit und der gespeicherten Energie.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Man zeichnet den Rahmen in der Ebene des Films, den beweglichen Bügel senkrecht zur

x

-Richtung und die äußere Zugkraft in Richtung wachsender

x

. Jede Seite hat die Fläche

ℓ x

. Die Gesamtfläche und ihre Änderung sind daher

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x,

da $ℓ$ konstant ist. Die beiden Grenzflächen sind verschieden, auch wenn sie sich in der Vorderansicht überdecken.

Frage 2. Die aufgenommene Arbeit lässt sich auf zwei Arten schreiben:

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

Durch Koeffizientenvergleich folgt $F_{ext} = 2 γ ℓ$ . Die Kraft des Films wirkt dieser Zugkraft entgegen. Da $γ$ und $ℓ$ konstant sind, gilt

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

Um die Fläche des Films zu vergrößern, muss Arbeit zugeführt werden.

Frage 3. In SI-Einheiten ist

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

und

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

. Somit

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

Die Einheiten sind stimmig: $γ ℓ$ ist eine Kraft und $γ Δ A$ eine Energie. Vergäße man eine Seite, so würden Kraft und Arbeit fälschlich halbiert.

Frage 4. Der erste Hauptsatz verlangt lediglich

Δ U = Q + γ Δ A .

Der Thermostat kann Wärme liefern oder aufnehmen, um die Temperatur zu halten. Ohne ein Modell für die innere Energie des Films kennt man weder $Δ U$ noch $Q$ . Man kann $γ Δ A$ daher nicht ohne Weiteres mit einer Änderung der inneren Energie gleichsetzen und aus der Isothermie auch nicht $Q = 0$ folgern.