Exercice corrigé de thermodynamique

Le travail nécessaire pour étendre un film de savon

Exercice 13 · Leçon 4 — Le premier principe de la thermodynamique

  • tension superficielle
  • travail généralisé
  • interface
  • film de savon

Énoncé

Un film de savon plan est tendu sur un cadre rectangulaire dont une barrette de longueur ℓ\ell peut glisser sans frottement. La distance xx entre cette barrette et le côté opposé du cadre augmente de xAx_A à xBx_B. Le film possède deux interfaces air-liquide, chacune de tension superficielle γ\gamma, supposée constante. On néglige les effets de bord, le poids et le travail des forces de pression ; le volume de liquide est constant et aucun liquide n'est échangé. Le déplacement est assez lent pour que l'équilibre mécanique soit maintenu. Pour la création d'interface, le travail reçu s'écrit δW=γ dA\delta W=\gamma\,\mathrm{d}A, où AA est l'aire totale des interfaces.

  1. Dessiner le cadre et la barrette, indiquer xx, ℓ\ell et le sens de la traction extérieure. Exprimer A(x)A(x) puis dA\mathrm{d}A.
  2. Déterminer la force extérieure nécessaire et calculer le travail reçu lorsque xx passe de xAx_A à xBx_B.
  3. Calculer cette force et ce travail pour γ=30 mN m−1\gamma=30\ \mathrm{mN\,m^{-1}}, ℓ=5,0 cm\ell=5{,}0\ \mathrm{cm} et xB−xA=2,0 cmx_B-x_A=2{,}0\ \mathrm{cm}. Quelle erreur produirait l'oubli d'une face ?
  4. Le film reste à température constante grâce à un thermostat. La seule connaissance de γ\gamma et de la variation d'aire suffit-elle à déterminer ΔU\Delta U et QQ ?

Indication
Chaque face a pour aire ℓx\ell x. Identifier le travail Fext dxF_{\mathrm{ext}}\,\mathrm{d}x au travail de création des deux interfaces. Pour la dernière question, distinguer le travail reçu de l'énergie stockée.

Solution détaillée

Solution
Question 1. On représente le cadre dans le plan du film, la barrette mobile perpendiculaire à la direction xx et la traction extérieure dans le sens des xx croissants. Chaque face a pour aire ℓx\ell x. L'aire totale et sa variation sont donc

A=2ℓx,dA=2ℓ dx,A=2\ell x,\qquad \mathrm{d}A=2\ell\,\mathrm{d}x,

car ℓ\ell est constante. Les deux interfaces sont distinctes, même si elles se superposent sur le dessin vu de face.

Question 2. Le travail reçu peut s'écrire de deux façons :

δW=Fext dx=γ dA=2γℓ dx.\delta W=F_{\mathrm{ext}}\,\mathrm{d}x =\gamma\,\mathrm{d}A=2\gamma\ell\,\mathrm{d}x.

L'identification donne Fext=2γℓF_{\mathrm{ext}}=2\gamma\ell. La force du film s'oppose à cette traction. Puisque γ\gamma et ℓ\ell sont constantes,

WA→B=∫xAxB2γℓ dx=2γℓ[x]xAxB=2γℓ(xB−xA)>0.W_{A\to B} =\int_{x_A}^{x_B}2\gamma\ell\,\mathrm{d}x =2\gamma\ell[x]_{x_A}^{x_B} =2\gamma\ell(x_B-x_A)>0.

Augmenter l'aire du film demande un apport de travail.

Question 3. En unités SI, γ=30×10−3 N m−1\gamma=30\times10^{-3}\ \mathrm{N\,m^{-1}}, ℓ=5,0×10−2 m\ell=5{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m} et xB−xA=2,0×10−2 mx_B-x_A=2{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m}. Ainsi,

Fext=2(30×10−3)(5,0×10−2)=3,0×10−3 N,WA→B=(3,0×10−3)(2,0×10−2)=6,0×10−5 J=60 μJ.F_{\mathrm{ext}} =2(30\times10^{-3})(5{,}0\times10^{-2}) =3{,}0\times10^{-3}\ \mathrm{N}, W_{A\to B} =(3{,}0\times10^{-3})(2{,}0\times10^{-2}) =6{,}0\times10^{-5}\ \mathrm{J}=60\ \mathrm{\mu J}.

Les unités sont cohérentes : γℓ\gamma\ell est une force et γΔA\gamma\Delta A une énergie. Oublier une face diviserait à tort la force et le travail par deux.

Question 4. Le premier principe impose seulement

ΔU=Q+γΔA.\Delta U=Q+\gamma\Delta A.

Le thermostat peut fournir ou recevoir de la chaleur pour maintenir la température. Sans modèle de l'énergie interne du film, on ne connaît ni ΔU\Delta U ni QQ. On ne peut donc identifier automatiquement γΔA\gamma\Delta A à une variation d'énergie interne, ni déduire Q=0Q=0 de l'isothermie.